Considerando o íon complexo \left[\mathrm{Cu}\left(\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}\right)_{4}\left(\mathrm{NH}_{3}\right)_{2}\right]^{2+} escreva as expressões para \mathrm{K}_{2} e \beta_{2} em função de \mathrm{K}_{1} e \mathrm{K}_{2}. Escreva todas as equações e equilíbrios envolvidos.

Passo 1

O enunciado pede que, tomando por referência o complexo \left[\mathrm{Cu}\left(\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}\right)_{4}\left(\mathrm{NH}_{3}\right)_{2}\right]^{2+}, sejam escritas as expressões para K_{2} (constante passo a passo do segundo passo de coordenação) e para \beta_{2} (constante global de formação com dois ligantes \mathrm{NH}_{3}) em função das constantes passo a passo. As informações relevantes dadas pelo enunciado são:
  • Complexo final: \left[\mathrm{Cu}\left(\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}\right)_{4}\left(\mathrm{NH}_{3}\right)_{2}\right]^{2+}.
  • Considera-se que a formação ocorre por substituição sucessiva de \mathrm{H_{2}O} por \mathrm{NH_{3}} em dois passos (um \mathrm{NH_{3}} por vez).
    O objetivo é escrever todas as equações de equilíbrio e as expressões de K_{1}, K_{2} (passo a passo) e \beta_{2} (global), e mostrar a relação entre elas.

Passo 2

Escrever o primeiro equilíbrio (substituição do primeiro \mathrm{NH_{3}}) e a definição de K_{1}.
Reação do primeiro passo:
\mathrm{[Cu(H_{2}O)_{4}]^{2+}} + \mathrm{NH_{3}} \rightleftharpoons \mathrm{[Cu(H_{2}O)_{4}(NH_{3})]^{2+}}
Definição da constante de equilíbrio passo a passo K_{1} (usando concentrações, aproximação de atividades por concentrações):
K_{1}=\dfrac{\left[\mathrm{Cu(H_{2}O)_{4}(NH_{3})^{2+}}\right]}{\left[\mathrm{Cu(H_{2}O)_{4}^{2+}}\right]\left[\mathrm{NH_{3}}\right]}
Aqui cada [\cdot] representa a concentração molar da espécie entre colchetes.

Passo 3

Escrever o segundo equilíbrio (substituição do segundo \mathrm{NH_{3}}) e a definição de K_{2}.
Reação do segundo passo:
\mathrm{[Cu(H_{2}O)_{4}(NH_{3})]^{2+}} + \mathrm{NH_{3}} \rightleftharpoons \mathrm{[Cu(H_{2}O)_{4}(NH_{3})_{2}]^{2+}}
Definição da constante de equilíbrio passo a passo K_{2}:
K_{2}=\dfrac{\left[\mathrm{Cu(H_{2}O)_{4}(NH_{3})_{2}^{2+}}\right]}{\left[\mathrm{Cu(H_{2}O)_{4}(NH_{3})^{2+}}\right]\left[\mathrm{NH_{3}}\right]}

Passo 4

Escrever o equilíbrio global (formação direta com dois \mathrm{NH_{3}}) e definir \beta_{2}.
Reação global (soma dos dois passos):
\mathrm{[Cu(H_{2}O)_{4}]^{2+}} + 2\,\mathrm{NH_{3}} \rightleftharpoons \mathrm{[Cu(H_{2}O)_{4}(NH_{3})_{2}]^{2+}}
Definição da constante global de formação \beta_{2}:
\beta_{2}=\dfrac{\left[\mathrm{Cu(H_{2}O)_{4}(NH_{3})_{2}^{2+}}\right]}{\left[\mathrm{Cu(H_{2}O)_{4}^{2+}}\right]\left[\mathrm{NH_{3}}\right]^{2}}

Passo 5

Mostrar a relação entre as constantes multiplicando K_{1} por K_{2}. Isto é natural porque multiplicar duas constantes de equilíbrio corresponde a somar as duas reações elementares.
Multiplicando as expressões de K_{1} e K_{2}:
K_{1}K_{2}= \left(\dfrac{\left[\mathrm{Cu(H_{2}O)_{4}(NH_{3})^{2+}}\right]}{\left[\mathrm{Cu(H_{2}O)_{4}^{2+}}\right]\left[\mathrm{NH_{3}}\right]}\right) \left(\dfrac{\left[\mathrm{Cu(H_{2}O)_{4}(NH_{3})_{2}^{2+}}\right]}{\left[\mathrm{Cu(H_{2}O)_{4}(NH_{3})^{2+}}\right]\left[\mathrm{NH_{3}}\right]}\right)
No produto cancelam-se as concentrações intermediárias \left[\mathrm{Cu(H_{2}O)_{4}(NH_{3})^{2+}}\right], ficando:
K_{1}K_{2}=\dfrac{\left[\mathrm{Cu(H_{2}O)_{4}(NH_{3})_{2}^{2+}}\right]}{\left[\mathrm{Cu(H_{2}O)_{4}^{2+}}\right]\left[\mathrm{NH_{3}}\right]^{2}}
Comparando com a definição de \beta_{2} do Passo 4, obtemos a relação fundamental:
\beta_{2}=K_{1}K_{2}

Passo 6

Isolar K_{2} em termos de \beta_{2} e K_{1}. A partir de \beta_{2}=K_{1}K_{2} segue diretamente:
K_{2}=\dfrac{\beta_{2}}{K_{1}}
Interpretação curta e prática: \beta_{2} mede a força total de formação do complexo com dois \mathrm{NH_{3}}; K_{1} e K_{2} medem as forças dos passos individuais. Multiplicar os K passo a passo dá a constante global, e dividir a global por um passo recupera o outro passo.

Resposta

\beta_{2}=K_{1}K_{2}
K_{2}=\dfrac{\beta_{2}}{K_{1}}

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