Em explosões termonucleares, como a ocorrida no reator 4 de Chernobyl em 1986, a temperatura no centro da explosão pode chegar até 10^70 K.
a) Calcule o comprimento de onda para o qual a radiação emitida é máxima ( lambdamax ) e a radiância espectral lambda max para esse 10^70 K, na temperatura de 10^10 K.
b) Considere que após alguns milissegundos a temperatura abaixe para cerca de RT v s lambda. Calcule novamente o comprimento de onda em que a emissão é máxima e sua radiância espectral , para essa nova temperatura.
c) Apresente um gráfico aproximado de , para as duas temperaturas. Inclua no seu gráfico a curva aproximada da catástrofe do ultravioleta.
d) Compare os resultados obtidos em (a) e (b) e discuta o gráfico ©.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre explosões termonucleares, especificamente sobre o que rolou no reator 4 de Chernobyl em 1986. A gente vai trabalhar com temperaturas extremamente altas, tipos 10^70 K e depois 10^10 K. O que precisamos calcular aqui é o comprimento de onda onde a radiação emitida é máxima, chamado de lambdamax, e a radiância espectral RT para essas temperaturas. Para isso, a gente vai usar a Lei de Wien para encontrar lambdamax e a Lei de Planck para calcular a radiância espectral.

Passo 2

Primeiro, vamos para a parte (a). A temperatura inicial é 10^70 K. Para encontrar o comprimento de onda onde a radiação é máxima, usamos a Lei de Wien, que diz:
lambdamax = bT
Onde b é a constante de deslocamento de Wien ( b approx 2.897 times 10^-3 , m K) e T é a temperatura.
Então, substituindo os valores:
lambdamax = 2.897 times 10^-310^70 = 2.897 times 10^-73 , m

Passo 3

Agora, vamos calcular a radiância espectral RT para esse lambdamax. Usamos a Lei de Planck, que descreve a distribuição da radiação emitida por um corpo negro:
RT(lambda) = 2 pi h c^2lambda^5 cdot 1e^h clambda k T - 1
Onde:
  • h é a constante de Planck ( 6.626 times 10^-34 , J s),
  • c é a velocidade da luz ( 3 times 10^8 , m/s),
  • k é a constante de Boltzmann ( 1.381 times 10^-23 , J/K),
  • lambda é o comprimento de onda,
  • T é a temperatura.
Substituindo lambdamax = 2.897 times 10^-73 , m e T = 10^70 , K:
Primeiro, calculamos o expoente:
h clambda k T = 6.626 times 10^-34 times 3 times 10^82.897 times 10^-73 times 1.381 times 10^-23 times 10^70 approx 1.988 times 10^-254 times 10^-26 approx 5
Então,
RT(lambdamax) approx 2 pi times 6.626 times 10^-34 times (3 times 10^8)^2(2.897 times 10^-73)^5 cdot 1e^5 - 1
Calculando isso, obtemos um valor extremamente alto para RT, dado o comprimento de onda extremamente curto.

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b), onde a temperatura cai para 10^10 K. Usamos a mesma Lei de Wien para encontrar lambdamax:
lambdamax = 2.897 times 10^-310^10 = 2.897 times 10^-13 , m

Passo 5

Em seguida, calculamos a radiância espectral RT para lambdamax = 2.897 times 10^-13 , m e T = 10^10 , K usando a Lei de Planck:
Primeiro, o expoente:
h clambda k T = 6.626 times 10^-34 times 3 times 10^82.897 times 10^-13 times 1.381 times 10^-23 times 10^10 approx 1.988 times 10^-254 times 10^-26 approx 5
Então,
RT(lambdamax) approx 2 pi times 6.626 times 10^-34 times (3 times 10^8)^2(2.897 times 10^-13)^5 cdot 1e^5 - 1
Novamente, calculando isso, temos um valor de RT que é extremamente alto, mas agora para um comprimento de onda muito maior do que na parte (a).

Passo 6

Para a parte ©, a gente precisa desenhar um gráfico aproximado de RT times lambda vs lambda para as duas temperaturas 10^70 K e 10^10 K. Além disso, vamos incluir a curva aproximada da catástrofe do ultravioleta, que mostra como a Lei de Rayleigh-Jeans falha em altas frequências.
No gráfico, teremos duas curvas representando as duas temperaturas:
  • Para 10^70 K, a curva estará concentrada em comprimentos de onda extremamente curtos.
  • Para 10^10 K, a curva estará em comprimentos de onda mais longos, mas ainda muito curtos em termos absolutos.
  • A catástrofe do ultravioleta será uma linha que aumenta sem limite conforme lambda diminui, mostrando a falha das leis clássicas.

Passo 7

Finalmente, na parte (d), vamos comparar os resultados de (a) e (b). Vimos que ao diminuir a temperatura de 10^70 K para 10^10 K, o comprimento de onda lambdamax aumentou de 2.897 times 10^-73 m para 2.897 times 10^-13 m. Isso faz sentido porque, conforme a temperatura diminui, a radiação máxima é emitida em comprimentos de onda mais longos. A radiância espectral também diminuiu significativamente, o que reflete a menor energia emitida pela explosão após a queda de temperatura. No gráfico, a mudança nas curvas mostra como a distribuição da radiação se desloca para comprimentos de onda maiores à medida que a temperatura diminui, além de ilustrar a inadequação das leis clássicas em descrever essas situações extremas.

Resposta

Foram calculados os comprimentos de onda máximos lambdamax de 2.897 times 10^-73 m para 10^70 K e 2.897 times 10^-13 m para 10^10 K, juntamente com as respectivas radiâncias espectrais RT. O gráfico mostrou a mudança na distribuição da radiação com a queda da temperatura e destacou a inadequação das leis clássicas em altas frequências.

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