Em explosões termonucleares, como a ocorrida no reator 4 de Chernobyl em 1986, a temperatura no centro da explosão pode chegar até
.
a) Calcule o comprimento de onda para o qual a radiação emitida é máxima (
) e a radiância espectral
para esse
, na temperatura de
.
b) Considere que após alguns milissegundos a temperatura abaixe para cerca de
. Calcule novamente o comprimento de onda em que a emissão é máxima e sua radiância espectral
, para essa nova temperatura.
c) Apresente um gráfico aproximado de
, para as duas temperaturas. Inclua no seu gráfico a curva aproximada da catástrofe do ultravioleta.
d) Compare os resultados obtidos em (a) e (b) e discuta o gráfico ©.
a) Calcule o comprimento de onda para o qual a radiação emitida é máxima (
b) Considere que após alguns milissegundos a temperatura abaixe para cerca de
c) Apresente um gráfico aproximado de
d) Compare os resultados obtidos em (a) e (b) e discuta o gráfico ©.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre explosões termonucleares, especificamente sobre o que rolou no reator 4 de Chernobyl em 1986. A gente vai trabalhar com temperaturas extremamente altas, tipos
K e depois
K. O que precisamos calcular aqui é o comprimento de onda onde a radiação emitida é máxima, chamado de
, e a radiância espectral
para essas temperaturas. Para isso, a gente vai usar a Lei de Wien para encontrar
e a Lei de Planck para calcular a radiância espectral.
Passo 2
Primeiro, vamos para a parte (a). A temperatura inicial é
K. Para encontrar o comprimento de onda onde a radiação é máxima, usamos a Lei de Wien, que diz:
Onde
é a constante de deslocamento de Wien (
) e
é a temperatura.
Então, substituindo os valores:
Passo 3
Agora, vamos calcular a radiância espectral
para esse
. Usamos a Lei de Planck, que descreve a distribuição da radiação emitida por um corpo negro:
Onde:
-
é a constante de Planck ( ), -
é a velocidade da luz ( ), -
é a constante de Boltzmann ( ), -
é o comprimento de onda, -
é a temperatura.
Substituindo
e
:
Primeiro, calculamos o expoente:
Então,
Calculando isso, obtemos um valor extremamente alto para
, dado o comprimento de onda extremamente curto.
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b), onde a temperatura cai para
K. Usamos a mesma Lei de Wien para encontrar
:
Passo 5
Em seguida, calculamos a radiância espectral
para
e
usando a Lei de Planck:
Primeiro, o expoente:
Então,
Novamente, calculando isso, temos um valor de
que é extremamente alto, mas agora para um comprimento de onda muito maior do que na parte (a).
Passo 6
Para a parte ©, a gente precisa desenhar um gráfico aproximado de
vs
para as duas temperaturas
K e
K. Além disso, vamos incluir a curva aproximada da catástrofe do ultravioleta, que mostra como a Lei de Rayleigh-Jeans falha em altas frequências.
No gráfico, teremos duas curvas representando as duas temperaturas:
- Para
K, a curva estará concentrada em comprimentos de onda extremamente curtos. - Para
K, a curva estará em comprimentos de onda mais longos, mas ainda muito curtos em termos absolutos. - A catástrofe do ultravioleta será uma linha que aumenta sem limite conforme
diminui, mostrando a falha das leis clássicas.
Passo 7
Finalmente, na parte (d), vamos comparar os resultados de (a) e (b). Vimos que ao diminuir a temperatura de
K para
K, o comprimento de onda
aumentou de
m para
m. Isso faz sentido porque, conforme a temperatura diminui, a radiação máxima é emitida em comprimentos de onda mais longos. A radiância espectral também diminuiu significativamente, o que reflete a menor energia emitida pela explosão após a queda de temperatura. No gráfico, a mudança nas curvas mostra como a distribuição da radiação se desloca para comprimentos de onda maiores à medida que a temperatura diminui, além de ilustrar a inadequação das leis clássicas em descrever essas situações extremas.
Resposta
Foram calculados os comprimentos de onda máximos
de
m para
K e
m para
K, juntamente com as respectivas radiâncias espectrais
. O gráfico mostrou a mudança na distribuição da radiação com a queda da temperatura e destacou a inadequação das leis clássicas em altas frequências.