Considerando
A=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\\\ 2 & -3 & 2 \\\\ 3 & 1 & -1 \end{array}\right], \quad \vec{x}=\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ -2 \\\\ 3 \end{array}\right] \quad \text { e } \quad \vec{b}=\left[\begin{array}{r} 6 \\\\ 14 \\\\ -2 \end{array}\right] .
(a) Verifique que A \vec{x}=\vec{b}.
(b) Use esse fato para analisar se o sistema
\left\{\begin{array}{l} x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}=6 \\\\ 2 x_{1}-3 x_{2}+2 x_{3}=14 \\\\ 3 x_{1}+x_{2}-x_{3}=-2 \end{array}\right.
possui solução.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 2 & -3 & 2\\\\ 3 & 1 & -1 \end{pmatrix},
o vetor
\vec{x} = \begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ 3\end{pmatrix}
e o vetor
\vec{b} = \begin{pmatrix}6\\\ 14\\\ -2\end{pmatrix}.
Parte (a) pede para verificar que A\vec{x}=\vec{b}, ou seja, que o produto linha–coluna de A com \vec{x} \vec{b}.
Parte (b) pergunta o que isso diz sobre a existência de solução do sistema linear associado a A\vec{x}=\vec{b}.

Passo 2

Vamos calcular A\vec{x} componte a componente, usando produto linha–coluna.
Primeiro componente:
1\cdot1 \;+\;2\cdot(-2)\;+\;3\cdot3 \;=\;1 - 4 + 9 \;=\;6.
Segundo componente:
2\cdot1 \;+\;(-3)\cdot(-2)\;+\;2\cdot3 \;=\;2 + 6 + 6 \;=\;14.
Terceiro componente:
3\cdot1 \;+\;1\cdot(-2)\;+\;(-1)\cdot3 \;=\;3 - 2 - 3 \;=\;-2.
Portanto,
A\vec{x} =\begin{pmatrix}6\\\ 14\\\ -2\end{pmatrix} =\vec{b}.

Passo 3

Como encontramos um vetor \vec{x}\) em \(\mathbb{R}^3\) que satisfaz \(A\vec{x}=\vec{b}\), concluímos que o sistema equivalente \[\begin{cases} x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=6,\\\\ 2x_{1}-3x_{2}+2x_{3}=14,\\\\ 3x_{1}+x_{2}-x_{3}=-2 \end{cases}
é compatível, ou seja, possui solução. Além disso, como A\] é quadrada de ordem \(3 e já vimos que \det(A)\neq0 (implícito pelo fato de termos solução única), essa solução é única.

Resposta

O sistema possui solução única dada por
(x_{1},x_{2},x_{3}) = (1,\,-2,\,3).

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