Considerando em \mathbb{R}^{3} o produto interno
\left\langle\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)\right\rangle=x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}-y_{1} z_{2}-z_{1} y_{2}+3 z_{1} z_{2}
utilize o Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt para encontrar uma base ortonormal para W=[(1,1,0),(0,0,1)].

Passo 1

Resumo do enunciado: estamos em \mathbb{R}^3 com o produto interno
\langle (x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2)\rangle = x_1x_2+y_1y_2 - y_1z_2 - z_1y_2 +3\,z_1z_2
e queremos, pelo Processo de Gram–Schmidt, uma base ortonormal de
W=\operatorname{span}\{(1,1,0),(0,0,1)\}.
Conteúdo: Gram–Schmidt em espaço com produto interno geral; precisaremos calcular projeções e normas segundo esse produto.

Passo 2

Escolhemos v_1=(1,1,0). Calculamos
\langle v_1,v_1\rangle =1\cdot1+1\cdot1 -1\cdot0 -0\cdot1 +3\cdot0\cdot0 =2,
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\|v_1\|=\sqrt{2}.
Definimos u_1=v_1 e depois
e_1=\frac{u_1}{\|u_1\|}=(\tfrac1{\sqrt2},\tfrac1{\sqrt2},0).

Passo 3

Agora v_2=(0,0,1). Primeiro calculamos a projeção de v_2 sobre u_1:
\langle v_2,u_1\rangle =0\cdot1+0\cdot1 -0\cdot0 -1\cdot1 +3\cdot1\cdot0 =-1,
\mathrm{proj}_{u_1}v_2 =\frac{\langle v_2,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}\,u_1 =\frac{-1}{2}\,(1,1,0) =(-\tfrac12,-\tfrac12,0).
Subtraímos para obter
u_2=v_2-\mathrm{proj}_{u_1}v_2 =(0,0,1)-(-\tfrac12,-\tfrac12,0) =(\tfrac12,\tfrac12,1).

Passo 4

Calculamos a norma de u_2:
\langle u_2,u_2\rangle =\bigl(\tfrac12\bigr)^2+\bigl(\tfrac12\bigr)^2 -2\cdot\tfrac12\cdot1+3\cdot1^2 =\tfrac14+\tfrac14-1+3 =\tfrac52,
\|u_2\|=\sqrt{\tfrac52}=\frac{\sqrt{10}}{2}.
Então
e_2=\frac{u_2}{\|u_2\|} =\Bigl(\tfrac12,\tfrac12,1\Bigr)\cdot\frac{2}{\sqrt{10}} =\Bigl(\tfrac1{\sqrt{10}},\,\tfrac1{\sqrt{10}},\,\tfrac{2}{\sqrt{10}}\Bigr).

Resposta

Uma base ortonormal de W (segundo o produto interno dado) é
e_1=\bigl(\tfrac1{\sqrt2},\tfrac1{\sqrt2},0\bigr), \quad e_2=\bigl(\tfrac1{\sqrt{10}},\tfrac1{\sqrt{10}},\tfrac{2}{\sqrt{10}}\bigr).

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