Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} o operador linear cuja matriz em uma determinada base é
A=\left(\begin{array}{rrr} 3 & k & -k^{2} \\\\ 0 & 3 & 0 \\\\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right)
a) Determinar o polinômio caracterísitco de T.
b) Qual deverá ser o polinômio minimal de T para que este seja diagonalizável?
c) Utilizando o item anterior, determinar o valor de k para que T seja diagonalizável.
OBS. Lembre que o polinômio minimal é o polinômio mônico m(x) de menor grau tal que m(A)=0.

Passo 1

O enunciado dá o operador linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 cuja matriz numa base é
A=\begin{pmatrix} 3 & k & -k^{2}\\\\ 0 & 3 & 0\\\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}
e pede:
a) o polinômio característico de T,
b) qual deve ser o polinômio minimal para T ser diagonalizável,
c) para que valores de k isso ocorra.
Vamos usar definição de polinômio característico \det(\lambda I - A), teoria de polinômio minimal e condição geométrica de diagonalização (dimensão de cada autoespaço igual à multiplicidade algébrica).

Passo 2

Calculamos o polinômio característico
p(\lambda)=\det(\lambda I - A) =\det\begin{pmatrix} \lambda-3 & -k & k^{2}\\\\ 0 & \lambda-3 & 0\\\\ 0 & -1 & \lambda-2 \end{pmatrix}.
Como só o primeiro pivô contribui,
p(\lambda)=(\lambda-3)\det\begin{pmatrix}\lambda-3&0\\\ -1&\lambda-2\end{pmatrix} =(\lambda-3)\bigl((\lambda-3)(\lambda-2)-0\cdot(-1)\bigr) =(\lambda-3)^2(\lambda-2).

Passo 3

Para T ser diagonalizável, o polinômio minimal m(x) deve ter fatores lineares simples cobrindo todos os autovalores, isto é,
m(x)=(x-3)(x-2).

Passo 4

Precisamos que a multiplicidade geométrica de \lambda=3 seja 2. Calculamos o autoespaço \ker(A-3I).
A-3I=\begin{pmatrix} 0 & k & -k^2\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad (A-3I)\begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix}=0
gera o sistema \;k\,x_2 - k^2 x_3=0 \;x_2 - x_3=0.

Passo 5

Da segunda equação vem x_2=x_3. Substituindo na primeira:
k\,x_3 - k^2 x_3 = k(1-k)x_3 = 0.
Para que o autoespaço tenha dimensão 2 (duas variáveis livres x_1,x_3), precisamos que k(1-k)=0. Logo
k=0\quad\text{ou}\quad k=1.

Resposta

(a) p(\lambda)=(\lambda-3)^2(\lambda-2).
(b) m(x)=(x-3)(x-2).
(c) k=0 ou k=1.

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