a) Determinar o polinômio caracterísitco de T.
b) Qual deverá ser o polinômio minimal de T para que este seja diagonalizável?
c) Utilizando o item anterior, determinar o valor de k para que T seja diagonalizável.
OBS. Lembre que o polinômio minimal é o polinômio mônico m(x) de menor grau tal que m(A)=0.
Passo 1
O enunciado dá o operador linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 cuja matriz numa base é
e pede:
a) o polinômio característico de T,
b) qual deve ser o polinômio minimal para T ser diagonalizável,
c) para que valores de k isso ocorra.
Vamos usar definição de polinômio característico \det(\lambda I - A), teoria de polinômio minimal e condição geométrica de diagonalização (dimensão de cada autoespaço igual à multiplicidade algébrica).