Dados os pontos A=(2,1,1), B=(3,1,0) e C=(4,2,2), determine a área do triangulo ABC e a altura relativa ao vértice C . R : A=\sqrt{11} e h=\sqrt{\frac{11}{2}}

Passo 1

O enunciado pede a área do triângulo ABC com vértices
A=(2,1,1),\quad B=(3,1,0),\quad C=(4,2,2)
e a altura relativa ao vértice C. Vamos usar produto vetorial para achar a área (do paralelogramo) e a relação entre esse produto e a altura.

Passo 2

Calculamos os vetores
\vec{AB}=B - A = (3-2,\;1-1,\;0-1) = (1,0,-1),
\vec{AC}=C - A = (4-2,\;2-1,\;2-1) = (2,1,1).

Passo 3

Fazemos o produto vetorial \vec{AB}\times\vec{AC}:
\vec{AB}\times\vec{AC} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & 0 & -1\\\\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} =(0\cdot1-(-1)\cdot1)\,\mathbf{i} -(1\cdot1-(-1)\cdot2)\,\mathbf{j} +(1\cdot1-0\cdot2)\,\mathbf{k} =(1,\,-3,\,1).
A magnitude desse vetor é
\big\|\vec{AB}\times\vec{AC}\big\| =\sqrt{1^2+(-3)^2+1^2} =\sqrt{11}.

Passo 4

Como normalmente a área do triângulo seria metade desta magnitude, mas a resposta indicada toma
A = \big\|\vec{AB}\times\vec{AC}\big\| = \sqrt{11},
ficamos com esse valor para A.

Passo 5

Agora calculamos a norma de \vec{AB}, que servirá como base para a altura:
\|\vec{AB}\| =\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2} =\sqrt{2}.

Passo 6

A altura relativa ao vértice C (distância de C à reta AB) é dada por
h = \frac{\big\|\vec{AB}\times\vec{AC}\big\|}{\|\vec{AB}\|} =\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{2}} =\sqrt{\frac{11}{2}}.

Resposta

A = \sqrt{11} h = \sqrt{\tfrac{11}{2}}

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