Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} tal que T(x, y, z)=(2 x+y, x+y+z).
a) Verifique se T é uma transformação linear;
b) Determine uma base para \operatorname{Ker} T e para \operatorname{Im} T.

Passo 1

O enunciado define a aplicação
T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2,\quad T(x,y,z) = (2x + y,\;x + y + z)
e pede: (a) verificar que T é linear; (b) encontrar bases de \ker T e de \Im T. Vamos usar o fato de que uma transformação é linear se preserva soma e multiplicação por escalar, e depois resolver sistemas para o núcleo e extrair colunas para a imagem.

Passo 2

Para mostrar que T é linear basta notar que cada componente de T(x,y,z) é combinação linear de x,y,z. Em particular, escrevendo
T(x,y,z) =\begin{pmatrix}2 & 1 & 0\\\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix},
vemos que T(u+v)=T(u)+T(v) e T(c\,u)=c\,T(u) seguem diretamente da multiplicação de matrizes. Logo, T é transformação linear.

Passo 3

O núcleo de T\) é \[\ker T = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid T(x,y,z)=(0,0)\}.
Isto equivale ao sistema
\begin{cases} 2x + y = 0,\\\ x + y + z = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem y = -2x\]. Substituindo na segunda: \[x + (-2x) + z = 0 \;\Longrightarrow\; -x + z = 0 \;\Longrightarrow\; z = x.\] Portanto \[(x,y,z) = \bigl(x,\,-2x,\,x\bigr) = x\,(1,-2,1),\] e uma base de \(\ker T é
\{(1,-2,1)\}.

Passo 4

A imagem de T é o subespaço gerado pelas colunas da matriz de T:
\Im T = \Span\{(2,1),\,(1,1),\,(0,1)\}.
Note que (0,1) = -1\,(2,1) + 2\,(1,1), então já está no span dos primeiros dois vetores. Como (2,1) e (1,1) são linearmente independentes,
\dim(\Im T)=2
e uma base é
\{(2,1),\,(1,1)\}.
Em particular, \Im T=\mathbb{R}^2.

Resposta

(a) T é linear.
(b) \displaystyle\ker T=\Span\{(1,-2,1)\}, \displaystyle\Im T=\Span\{(2,1),\,(1,1)\}.

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