Seja
tal que
.
a) Verifique se
é uma transformação linear;
b) Determine uma base para
e para
.
a) Verifique se
b) Determine uma base para
Passo 1
O enunciado define a aplicação
e pede: (a) verificar que
é linear; (b) encontrar bases de
e de
. Vamos usar o fato de que uma transformação é linear se preserva soma e multiplicação por escalar, e depois resolver sistemas para o núcleo e extrair colunas para a imagem.
Passo 2
Para mostrar que
é linear basta notar que cada componente de
é combinação linear de
. Em particular, escrevendo
vemos que
e
seguem diretamente da multiplicação de matrizes. Logo,
é transformação linear.
Passo 3
O núcleo de
Isto equivale ao sistema
Da primeira equação vem
é
Passo 4
A imagem de
é o subespaço gerado pelas colunas da matriz de
:
Note que
, então já está no span dos primeiros dois vetores. Como
e
são linearmente independentes,
e uma base é
Em particular,
.
Resposta
(a)
é linear.
(b) , .
(b) , .