Considerando em mathbb{R}^{3} o produto interno definido por
\left\langle\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)\right\rangle=2 x_{1} x_{2}-x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}+y_{1} y_{2}+z_{1} z_{2}
determine:
(1.0 pt) a distância entre os vetores u=(2,2,5) e v=(2,2,0).

Passo 1

O enunciado define em \mathbb{R}^{3} o produto interno
\langle(x_{1},y_{1},z_{1}),(x_{2},y_{2},z_{2})\rangle =2x_{1}x_{2}-x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}
e pede a distância entre u=(2,2,5) e v=(2,2,0). Sabendo que a distância é a norma da diferença, temos
d(u,v)=\|u-v\|\quad\text{com}\quad\|w\|=\sqrt{\langle w,w\rangle}.

Passo 2

Calcular o vetor diferença:
w = u - v = (2,2,5)-(2,2,0) = (0,0,5).

Passo 3

Calcular o produto interno de w por si mesmo:
\langle w,w\rangle =2\cdot0\cdot0 - 0\cdot0 -0\cdot0 +0\cdot0 +5\cdot5 =25.

Passo 4

Obter a norma de w e, assim, a distância:
\|w\| = \sqrt{\langle w,w\rangle} = \sqrt{25} = 5.

Resposta

A distância entre u e v é 5.

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