Sejam S e T operadores lineares no \mathbb{R}^{2} definidos por:
S(x, y)=(x+2 y, y) \text { e } T(x, y)=(x, 3 y) \text {. Determine: }
a) 3 S-2 . T
b) SoT

Passo 1

O enunciado nos dá dois operadores lineares em \mathbb{R}^2: \displaystyle S(x,y) = (x + 2y,\,y) e \displaystyle T(x,y) = (x,\,3y).
Pede-se:
– em (a) o operador 3S - 2T, ou seja, a combinação linear de S e T;
– em (b) a composição S\circ T, isto é, aplicar T e depois S.

Passo 2

Para obter 3S - 2T usamos linearidade:
3S(x,y) = 3\,(x+2y,\,y) = (3x+6y,\,3y)
2T(x,y) = 2\,(x,\,3y) = (2x,\,6y)
Subtraindo componente a componente:
(3S - 2T)(x,y) = (3x+6y - 2x,\;3y - 6y) = (x + 6y,\;-3y).

Passo 3

Para a composição S\circ T aplicamos primeiro T e em seguida S:
T(x,y) = (x,\,3y)
S\bigl(T(x,y)\bigr) = S(x,3y) = \bigl(x + 2\cdot(3y),\;3y\bigr) = (x + 6y,\;3y).

Resposta

a) (3S - 2T)(x,y) = (x + 6y,\,-3y)
b) (S\circ T)(x,y) = (x + 6y,\;3y)

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