Considerando a matriz abaixo, faça o que se pede.
[ccc m1 & 0 & m1 0 & m5+1 & m5+1 0 & 0 & 0 ]
A matriz é diagonalizável? Se sim, diagonalize.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = m1 & 0 & m1 [6pt] 0 & m5+1 & m5+1 [6pt] 0 & 0 & 0
Essa matriz é triangular, logo seus autovalores são as entradas da diagonal: lambda1=m1, lambda2=m5+1 e lambda3=0. Vamos ver se há três autovetores independentes (isto é, se a multiplicidade geométrica de cada autovalor coincide com sua multiplicidade algébrica). Se sim, A é diagonalizável.]

Passo 2

Calculamos o autovetor para
Da primeira equação vem . Para parâmetros genéricos, e assim . Logo um autovetor livre é
que satisfaz .]

Passo 3

Para
Em geral e da primeira segue , logo . Sobrou livre, e podemos escolher
com .]

Passo 4

Para
Se obtemos e , ficando livre. Escolhemos
que satisfaz .]

Passo 5

Vimos que, mesmo em casos de autovalores repetidos ( m1=m5+1 ou ,m1=0 etc.), cada valor próprio tem espaço próprio de dimensão igual à sua multiplicidade algébrica. Logo há sempre três autovetores independentes e A é diagonalizável. Tomamos
P = 1 & 0 & -1 0 & 1 & -1 0 & 0 & 1 , D = m1 & 0 & 0 0 & m5+1 & 0 0 & 0 & 0 ,
e então
P^-1AP = D

Resposta

Sim, a matriz é diagonalizável e uma diagonalização é
P^-1AP = m1 & 0 & 0 0 & m5+1 & 0 0 & 0 & 0 ,
com
P = 1 & 0 & -1 0 & 1 & -1 0 & 0 & 1

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