Para a matriz a seguir, encontre o espaço linha e o complemento ortogonal a este espaço.
Passo 1
E aí! Vamos juntos resolver esse exercício de álgebra linear. A gente precisa encontrar o espaço linha da matriz dada e o complemento ortogonal a esse espaço. Para isso, vamos usar algumas técnicas de operações de linha e entender um pouquinho sobre como os espaços vetoriais funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz que temos:
[ccc 1 & 0 & 1 1 & m1 & m3+1 2 & m1 & m3+2 ]
Nosso objetivo é simplificar essa matriz usando operações de linha, de modo que possamos identificar uma base para o espaço linha.
Passo 3
Vamos começar eliminando o primeiro elemento da segunda e terceira linhas para facilitar. Subtraímos a primeira linha da segunda e, em seguida, subtraímos 2 vezes a primeira linha da terceira.
Operação 1: Linha 2 = Linha 2 – Linha 1
[ccc 1 & 0 & 1 0 & m1 & m3 2 & m1 & m3+2 ]
Operação 2: Linha 3 = Linha 3 – 2 × Linha 1
[ccc 1 & 0 & 1 0 & m1 & m3 0 & m1 & m3 ]
Passo 4
Observamos que a terceira linha ficou igual à segunda linha. Isso significa que uma delas é redundante e podemos descartá-la, pois não adiciona nenhuma informação nova.
[ccc 1 & 0 & 1 0 & m1 & m3 ]
Agora nossa matriz está em uma forma mais simples, com duas linhas independentes. Essas linhas vão nos ajudar a identificar o espaço linha.
Passo 5
O espaço linha é o conjunto de todas as combinações lineares das linhas da matriz. Como temos duas linhas independentes, o espaço linha será gerado por essas duas linhas. Então, uma base para o espaço linha é formada pelos vetores:
(1, 0, 1) (0, m1, m3)
Passo 6
Agora, vamos encontrar o complemento ortogonal ao espaço linha. Isso significa encontrar todos os vetores que são perpendiculares a todo vetor do espaço linha.
Para isso, consideramos um vetor genérico (x, y, z) que deve satisfazer as seguintes condições:
1x + 0y + 1z = 0 0x + m1y + m3z = 0
Passo 7
Resolvendo essas equações:
Primeira equação:x + z = 0 → x = -z
Segunda equação:m1y + m3z = 0 → y = -dfracm3m1 z (desde que m1 neq 0)
Passo 8
Substituindo x e y em termos de z, temos:
(x, y, z) = (-z, -dfracm3m1 z, z ) = z cdot (-1, -dfracm3m1, 1 )
Isso mostra que todo vetor do complemento ortogonal é um múltiplo escalar de (-1, -dfracm3m1, 1).
Resposta
O espaço linha da matriz é gerado pelos vetores (1,, 0,, 1) e (0,, m1,, m3). O complemento ortogonal a esse espaço é formado pelo vetor (-1,; -dfracm3m1,; 1).