Considere uma transformação T: R^2 R^2 tal que
T(x, y)=125((9 m1+16(m1+m5+1)) x-12(m5+1) y,-12(m5+1) x+(16 m1+9(m1+m5+1) y)
Mostre que T é uma transformação matricial e calcule sua matriz canônica.

Passo 1

O enunciado define
TcolonR^2toR^2, T(x,y)=125l(,(9m1+16(m1+m5+1)),x-12(m5+1),y,;-12(m5+1),x+(16m1+9(m1+m5+1)),yr)
Queremos mostrar que T é linear (isto é, uma transformação matricial) e encontrar sua matriz canônica em relação à base padrão de R^2. Para isso vamos verificar que cada coordenada de T(x,y) é uma combinação linear de x e y e extrair os coeficientes.

Passo 2

Note que as duas componentes de T(x,y) são da forma
f1(x,y)=a11x+a12y, f2(x,y)=a21x+a22y,
sem termos independentes (constantes). Toda aplicação cujo valor em (x,y) é dado por combinações lineares homogêneas de x e y é linear, pois satisfaz
T(u+v)=T(u)+T(v), T(lambda u)=lambda,T(u)
Logo, T é de fato uma transformação matricial.

Passo 3

Comparando a definição de T(x,y) com
T(x,y) = a11 & a12 [6pt] a21 & a22 x y,
vemos imediatamente que, antes de simplificar, os coeficientes são
a11=9m1+16(m1+m5+1)25, a12=-12(m5+1)25,
a21=-12(m5+1)25, a22=16m1+9(m1+m5+1)25 ]

Passo 4

Basta agora simplificar as somas nos termos diagonais:
9m1+16(m1+m5+1) =9m1+16m1+16(m5+1) =25m1+16(m5+1),
16m1+9(m1+m5+1) =16m1+9m1+9(m5+1) =25m1+9(m5+1)

Resposta

A matriz canônica de T na base padrão é
A = 125 25m1+16(m5+1) & -12(m5+1) [6pt] -12(m5+1) & 25m1+9(m5+1)
Em outras palavras,
A= m1+tfrac1625(m5+1) & -tfrac1225(m5+1) [6pt] -tfrac1225(m5+1) & m1+tfrac925(m5+1) ]

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