Considere uma transformação
tal que
Mostre que
é uma transformação matricial e calcule sua matriz canônica.
Mostre que
Passo 1
O enunciado define
Queremos mostrar que
é linear (isto é, uma transformação matricial) e encontrar sua matriz canônica em relação à base padrão de
. Para isso vamos verificar que cada coordenada de
é uma combinação linear de
e
e extrair os coeficientes.
Passo 2
Note que as duas componentes de
são da forma
sem termos independentes (constantes). Toda aplicação cujo valor em
é dado por combinações lineares homogêneas de
e
é linear, pois satisfaz
Logo,
é de fato uma transformação matricial.
Passo 3
Comparando a definição de
com
vemos imediatamente que, antes de simplificar, os coeficientes são
Passo 4
Basta agora simplificar as somas nos termos diagonais:
Resposta
A matriz canônica de
na base padrão é
Em outras palavras,