Dizemos que uma matriz An times n é diagonalizável se seu operador associado TA: R^n R^n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se, A admitir n autovalores LI. Baseado nisso, verifique quais das matrizes abaixo são diagonalizáveis:
A=[rrr1 & 0 & 2 -1 & 0 & 1 1 & 1 & 2]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 1 & 0 & 2 -1 & 0 & 1 1 & 1 & 2
e pede para verificar se A é diagonalizável. Sabendo que uma matriz de tamanho n é diagonalizável se, e somente se, ela admite n autovalores (com multiplicidade algébrica) cujos espaços próprios juntos têm dimensão n. Um critério rápido é: se uma matriz real ntimes n tem n autovalores distintos, então é diagonalizável.

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico
p(lambda)=det(A-lambda I) = 1-lambda & 0 & 2 -1 & -lambda & 1 1 & 1 & 2-lambda
Expandindo pela primeira linha,
p(lambda) =(1-lambda)det-lambda & 11 & 2-lambda +2det-1 & -lambda1 & 1
Calculamos
det-lambda & 11 & 2-lambda =-lambda(2-lambda)-1=lambda^2-2lambda-1,
det-1 & -lambda1 & 1 =(-1)cdot1 -(-lambda)cdot1=lambda-1
Logo
p(lambda) =(1-lambda)(lambda^2-2lambda-1)+2(lambda-1) =-lambda^3+3lambda^2+lambda-3

Passo 3

Para achar os autovalores resolvemos
-lambda^3+3lambda^2+lambda-3=0 Long<=ftrightarrow lambda^3-3lambda^2-lambda+3=0
Testando lambda=1 vemos que anula o polinômio. Fazendo divisão sintética, obtemos
lambda^3-3lambda^2-lambda+3=(lambda-1)(lambda^2-2lambda-3)
E
lambda^2-2lambda-3=0 Longrightarrow lambda=2pmraiz4+122=3,,-1
Portanto os autovalores são
lambda1=1, lambda2=3, lambda3=-1,
que são três valores distintos.

Passo 4

Como obtivemos três autovalores reais distintos para uma matriz 3times3, concluímos que os espaços próprios associados são de dimensão total 3. Pelo critério dos autovalores distintos, A é diagonalizável.

Resposta

A é diagonalizável.

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