Determine o operador linear que tenha autovalores 1 e 3 associados aos autovetores e , respectivamente.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma transformação linear que tenha autovalor 1 com autovetor paralelo a e autovalor 3 com autovetor paralelo a . O conteúdo aqui é diagonalização de operador linear e mudança de base usando autovetores.
Passo 2
Como os autovetores são (para ) e (para ), podemos montar a matriz de passagem cujas colunas são esses vetores:
Na base de autovetores, T é representado pela matriz diagonal
D=1 & 0 0 & 3
Passo 3
Para voltar à base canônica, precisamos de P^-1. Calculamos o determinante de P:
det P=1cdot0-(-1)cdot2=2
Logo
P^-1=120 & 1 -2 & 1
Passo 4
Agora montamos a matriz de na base canônica por
Primeiro
Passo 5
Interpretando a matriz T, temos
T(x,y)=l(3x - y,;yr)
Podemos verificar facilmente que essa matriz tem autovalores 1 e 3 nos autovetores desejados.
Resposta
A matriz de T na base canônica é 3 & -10 & 1, ou seja, T(x,y)=(3x - y,,y)