Determine o operador linear T: R^2 R^2 que tenha autovalores 1 e 3 associados aos autovetores (x, 2 x) e (-x, 0), respectivamente.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma transformação linear T:R^2toR^2 que tenha autovalor 1 com autovetor paralelo a (x,2x) e autovalor 3 com autovetor paralelo a (-x,0). O conteúdo aqui é diagonalização de operador linear e mudança de base usando autovetores.

Passo 2

Como os autovetores são (1,2) (para lambda=1) e (-1,0) (para lambda=3), podemos montar a matriz de passagem P cujas colunas são esses vetores:
P=1 & -1 2 & 0
Na base de autovetores, T é representado pela matriz diagonal
D=1 & 0 0 & 3

Passo 3

Para voltar à base canônica, precisamos de P^-1. Calculamos o determinante de P:
det P=1cdot0-(-1)cdot2=2
Logo
P^-1=120 & 1 -2 & 1

Passo 4

Agora montamos a matriz de na base canônica por
Primeiro

Passo 5

Interpretando a matriz T, temos
T(x,y)=l(3x - y,;yr)
Podemos verificar facilmente que essa matriz tem autovalores 1 e 3 nos autovetores desejados.

Resposta

A matriz de T na base canônica é 3 & -10 & 1, ou seja, T(x,y)=(3x - y,,y)

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