Considerando as matrizes abaixo, decida se A possui inversa. Em caso afirmativo, encontre A^-1.
A=[cccc3 & 2 & 1 & 2 7 & 5 & 2 & 5 0 & 0 & 9 & 4 0 & 0 & 11 & 5]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre matrizes! A questão pede para a gente verificar se a matriz A tem inversa e, se tiver, encontrar A^-1 . Para isso, vamos usar conceitos de determinante e propriedades de matrizes quadradas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se a matriz A é invertível. Uma matriz quadrada só tem inversa se o seu determinante for diferente de zero. Então, nosso primeiro passo é calcular o determinante de A .

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz A . A matriz é:
A = 3 & 2 & 1 & 2 7 & 5 & 2 & 5 0 & 0 & 9 & 4 0 & 0 & 11 & 5
Observando que as últimas duas linhas têm zeros nas duas primeiras posições, podemos usar a expansão por menores para facilitar o cálculo. Vamos expandir pelo método de bloco.

Passo 4

Observamos que a matriz A pode ser dividida em blocos, onde o bloco inferior esquerdo é uma matriz zero. Isso simplifica o cálculo do determinante, pois o determinante de uma matriz triangular superior ou inferior é o produto dos elementos da diagonal principal.
Calculando o determinante:
det(A) = 3 & 2 & 1 & 2 7 & 5 & 2 & 5 0 & 0 & 9 & 4 0 & 0 & 11 & 5 = det( 3 & 2 7 & 5 ) times det( 9 & 4 11 & 5 )
Calculando os determinantes dos blocos:
det( 3 & 2 7 & 5 ) = (3 times 5) - (2 times 7) = 15 - 14 = 1
det( 9 & 4 11 & 5 ) = (9 times 5) - (4 times 11) = 45 - 44 = 1
Então,
det(A) = 1 times 1 = 1

Passo 5

Como o determinante de A é 1, que é diferente de zero, concluímos que a matriz A possui inversa.

Passo 6

Para encontrar a inversa A^-1 , podemos usar o método de adjunta ou a regra de Sarrus para matrizes 4x4, o que pode ser trabalhoso. Uma alternativa mais prática é aplicar a técnica de redução de matriz para transformar A na matriz identidade, realizando as mesmas operações na matriz identidade para obter A^-1 .
No entanto, como a matriz A possui uma forma especial com blocos, podemos simplificar o processo dividindo-a em blocos menores e invertendo cada bloco.
Vamos reorganizar a matriz A em blocos:
A = B & C 0 & D
Onde:
B = 3 & 2 7 & 5 , C = 1 & 2 2 & 5 , D = 9 & 4 11 & 5
A inversa de A então pode ser escrita como:
A^-1 = B^-1 & -B^-1 C D^-1 0 & D^-1

Passo 7

Vamos calcular B^-1 e D^-1 .
Primeiro, B :
B = 3 & 2 7 & 5 , det(B) = 3 times 5 - 2 times 7 = 15 - 14 = 1
Então,
B^-1 = 1det(B) 5 & -2 -7 & 3 = 5 & -2 -7 & 3
Agora, D :
D = 9 & 4 11 & 5 , det(D) = 9 times 5 - 4 times 11 = 45 - 44 = 1
Então,
D^-1 = 1det(D) 5 & -4 -11 & 9 = 5 & -4 -11 & 9

Passo 8

Agora, vamos calcular -B^-1 C D^-1 :
Primeiro, multiplicamos B^-1 por C :
B^-1 C = 5 & -2 -7 & 3 1 & 2 2 & 5 = 5 times 1 + (-2) times 2 & 5 times 2 + (-2) times 5 -7 times 1 + 3 times 2 & -7 times 2 + 3 times 5 = 5 - 4 & 10 - 10 -7 + 6 & -14 + 15 = 1 & 0 -1 & 1
Agora, multiplicamos esse resultado por D^-1 :
B^-1 C D^-1 = 1 & 0 -1 & 1 5 & -4 -11 & 9 = 1 times 5 + 0 times (-11) & 1 times (-4) + 0 times 9 -1 times 5 + 1 times (-11) & -1 times (-4) + 1 times 9 = 5 & -4 -16 & 13
Então,
-B^-1 C D^-1 = - 5 & -4 -16 & 13 = -5 & 4 16 & -13

Passo 9

Agora, juntamos tudo para formar A^-1 :
A^-1 = B^-1 & -B^-1 C D^-1 0 & D^-1 = 5 & -2 & -5 & 4 -7 & 3 & 16 & -13 0 & 0 & 5 & -4 0 & 0 & -11 & 9

Resposta

Sim, a matriz A possui inversa, e ela é dada por:
A^-1 = 5 & -2 & -5 & 4 -7 & 3 & 16 & -13 0 & 0 & 5 & -4 0 & 0 & -11 & 9

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