Considerando as matrizes abaixo, decida se possui inversa. Em caso afirmativo, encontre .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre matrizes! A questão pede para a gente verificar se a matriz A tem inversa e, se tiver, encontrar A^-1 . Para isso, vamos usar conceitos de determinante e propriedades de matrizes quadradas. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se a matriz A é invertível. Uma matriz quadrada só tem inversa se o seu determinante for diferente de zero. Então, nosso primeiro passo é calcular o determinante de A .
Passo 3
Vamos calcular o determinante da matriz A . A matriz é:
Observando que as últimas duas linhas têm zeros nas duas primeiras posições, podemos usar a expansão por menores para facilitar o cálculo. Vamos expandir pelo método de bloco.
Passo 4
Observamos que a matriz A pode ser dividida em blocos, onde o bloco inferior esquerdo é uma matriz zero. Isso simplifica o cálculo do determinante, pois o determinante de uma matriz triangular superior ou inferior é o produto dos elementos da diagonal principal.
Como o determinante de A é 1, que é diferente de zero, concluímos que a matriz A possui inversa.
Passo 6
Para encontrar a inversa A^-1 , podemos usar o método de adjunta ou a regra de Sarrus para matrizes 4x4, o que pode ser trabalhoso. Uma alternativa mais prática é aplicar a técnica de redução de matriz para transformar A na matriz identidade, realizando as mesmas operações na matriz identidade para obter A^-1 .
No entanto, como a matriz A possui uma forma especial com blocos, podemos simplificar o processo dividindo-a em blocos menores e invertendo cada bloco.
Vamos reorganizar a matriz A em blocos:
A = B & C 0 & D
Onde:
B = 3 & 2 7 & 5 , C = 1 & 2 2 & 5 , D = 9 & 4 11 & 5
A inversa de A então pode ser escrita como:
A^-1 = B^-1 & -B^-1 C D^-1 0 & D^-1
Passo 7
Vamos calcular B^-1 e D^-1 .
Primeiro, B :
B = 3 & 2 7 & 5 , det(B) = 3 times 5 - 2 times 7 = 15 - 14 = 1
Então,
B^-1 = 1det(B) 5 & -2 -7 & 3 = 5 & -2 -7 & 3
Agora, D :
D = 9 & 4 11 & 5 , det(D) = 9 times 5 - 4 times 11 = 45 - 44 = 1
Então,
D^-1 = 1det(D) 5 & -4 -11 & 9 = 5 & -4 -11 & 9
Passo 8
Agora, vamos calcular -B^-1 C D^-1 :
Primeiro, multiplicamos B^-1 por C :
B^-1 C = 5 & -2 -7 & 3 1 & 2 2 & 5 = 5 times 1 + (-2) times 2 & 5 times 2 + (-2) times 5 -7 times 1 + 3 times 2 & -7 times 2 + 3 times 5 = 5 - 4 & 10 - 10 -7 + 6 & -14 + 15 = 1 & 0 -1 & 1
Agora, multiplicamos esse resultado por D^-1 :
B^-1 C D^-1 = 1 & 0 -1 & 1 5 & -4 -11 & 9 = 1 times 5 + 0 times (-11) & 1 times (-4) + 0 times 9 -1 times 5 + 1 times (-11) & -1 times (-4) + 1 times 9 = 5 & -4 -16 & 13