Exercício 4-2: Para o escoamento turbulento de um fluido em um tubo liso, a expressão abaixo pode ser usada para determinar o fator de atrito,
, em função do número de Reynolds,
(a) Calcule o fator de atrito para
, usando o método de Newton-Raphson, com seis algarismos significativos corretos. Uma boa estimativa inicial para o fator de atrito pode ser obtida pela equação de Blasius:
;
(b) Verifique se a solução pode ser obtida aplicando diretamente o método das substituições sucessivas isolando o fator de atrito,
, no lado direito da equação, justifique a adequação ou não do procedimento.
(b) Verifique se a solução pode ser obtida aplicando diretamente o método das substituições sucessivas isolando o fator de atrito,
Passo 1
O enunciado pede o fator de atrito
para escoamento turbulento em tubo liso, satisfeito pela equação implícita
com
.
(a) usar Newton–Raphson para achar com seis algarismos significativos; a inicial pode vir da fórmula de Blasius
(a) usar Newton–Raphson para achar
(b) verificar se dá para isolar
e usar iteração de ponto-fixo, comentando a convergência.
Passo 2
Definimos a função
e sua derivada
pois
e
.
A iteração de Newton é
A iteração de Newton é
Usamos
e a inicial
Passo 3
Aplicando as iterações:
A mudança final é de
, logo já temos seis algarismos estáveis.
Passo 4
Para o método de substituição sucessiva isolamos
de
com
, obtendo
Definindo
temos
. Para verificar convergência local calculamos
e, em
,
.
Logo, localmente é contração e a iteração converge se a inicial estiver razoavelmente próxima. Entretanto, para chutes muito distantes a convergência pode falhar, de modo que Newton–Raphson é mais robusto.
Logo, localmente
Resposta
(a)
(seis algarismos significativos).
(b) Sim: isolando
(b) Sim: isolando
obtém-se uma iteração de ponto-fixo
. Como
, há convergência local, mas para iniciais muito afastadas pode falhar, motivo pelo qual Newton–Raphson é preferível.