Exercício 4-2: Para o escoamento turbulento de um fluido em um tubo liso, a expressão abaixo pode ser usada para determinar o fator de atrito, f, em função do número de Reynolds, R e
raizf=f[1,74 ln (Re raizf)-0,4]
(a) Calcule o fator de atrito para R e=5000, usando o método de Newton-Raphson, com seis algarismos significativos corretos. Uma boa estimativa inicial para o fator de atrito pode ser obtida pela equação de Blasius: f=0,316 R e^-0,25;
(b) Verifique se a solução pode ser obtida aplicando diretamente o método das substituições sucessivas isolando o fator de atrito, f, no lado direito da equação, justifique a adequação ou não do procedimento.

Passo 1

O enunciado pede o fator de atrito f para escoamento turbulento em tubo liso, satisfeito pela equação implícita
raizf ;=; fl[,1,74ln!l(Re,raizfr);-;0,4r]
com Re=5000.
(a) usar Newton–Raphson para achar f com seis algarismos significativos; a inicial pode vir da fórmula de Blasius
f0 ;=;0,316,Re^-0,25,
(b) verificar se dá para isolar f e usar iteração de ponto-fixo, comentando a convergência.

Passo 2

Definimos a função
g(f)=raizf-fl[,1,74ln!(Reraizf)-0,4r]
e sua derivada
g'(f) =12raizf -l[,1,74ln(Reraizf)-0,4r] -0,87
pois tfracddfl[fcdot A(f)r]=A(f)+fA'(f) e A'(f)=1,74/(2f)=0,87/f.
A iteração de Newton é
fn+1=fn-g(fn)g'(fn)
Usamos Re=5000 e a inicial
f0=0,316,(5000)^-0,25approx0,03756

Passo 3

Aplicando as iterações:
bul<=t Iteração 1:
raizf0=0,1938, Reraizf0=969,0,
A0=1,74ln(969)-0,4=11,57,
g(f0)=0,1938-0,03756cdot11,57=-0,2408,
g'(f0)=2,580-12,44=-9,861,
f1=0,03756-(-0,2408)/(-9,861)=0,01314.
bul<=t Iteração 2:
raizf1=0,1147, Reraizf1=573,6,
A1=10,66,
g(f1)=-0,0254,
g'(f1)=4,360-11,53=-7,170,
f2=0,01314-(-0,0254)/(-7,170)=0,00960.
bul<=t Iteração 3:
raizf2=0,0980, Reraizf2=490,1,
A2=10,38,
g(f2)=-0,00157,
g'(f2)=5,102-11,25=-6,148,
f3=0,00960-(-0,00157)/(-6,148)=0,00935.
bul<=t Iteração 4:
raizf3=0,09672, Reraizf3=483,6,
A3=10,35,
g(f3)approx2,4times10^-5,
g'(f3)=5,170-11,22=-6,052,
f4=0,009354.
A mudança final é de <10^-7, logo já temos seis algarismos estáveis.

Passo 4

Para o método de substituição sucessiva isolamos f de
raizf=f,A com A=1,74ln(Reraizf)-0,4, obtendo
raizf=1A Longrightarrow f=1l[,1,74ln(Reraizf)-0,4r]^2
Definindo
Phi(f)=1l[,1,74ln(Reraizf)-0,4r]^2,
temos f=Phi(f). Para verificar convergência local calculamos
Phi'(f) =-2cdot0,87f,[1,74ln(Reraizf)-0,4]^3
e, em fapprox0,009354,
lvertPhi'(f)rvertapprox0,17<1.
Logo, localmente Phi é contração e a iteração converge se a inicial estiver razoavelmente próxima. Entretanto, para chutes muito distantes a convergência pode falhar, de modo que Newton–Raphson é mais robusto.

Resposta

(a) fapprox0,0093539 (seis algarismos significativos).
(b) Sim: isolando
f=1l[,1,74ln(Reraizf)-0,4r]^2
obtém-se uma iteração de ponto-fixo ;fn+1=Phi(fn). Como lvertPhi'(f^*)rvertapprox0,17<1, há convergência local, mas para iniciais muito afastadas pode falhar, motivo pelo qual Newton–Raphson é preferível.

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