Considerando as matrizes abaixo, decida se possui inversa. Em caso afirmativo, encontre .
Passo 1
Então, vamos lá! Temos uma matriz A dada por:
A = 1 & 2 & -3 0 & 1 & 2 0 & 0 & 1
O objetivo é descobrir se essa matriz possui uma inversa. Se sim, vamos encontrar A^-1 . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes inversas e determinantes.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se a matriz A é inversível. Uma matriz quadrada é inversível se e somente se o seu determinante for diferente de zero.
Passo 3
Calculando o determinante de A . Como A é uma matriz triangular (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.
det(A) = 1 times 1 times 1 = 1
Passo 4
Como o determinante de A é 1, que é diferente de zero, concluímos que A é inversível.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a inversa de A , ou seja, A^-1 . Para matrizes triangulares com elementos diagonais iguais a 1, a inversa também será triangular e podemos encontrar os elementos superiores passo a passo.
Passo 6
Começamos montando a matriz inversa A^-1 como identidade e ajustando os elementos:
A^-1 = 1 & a & b 0 & 1 & c 0 & 0 & 1
Passo 7
Multiplicamos A por A^-1 e igualamos a matriz identidade:
A times A^-1 = 1 & 2 & -3 0 & 1 & 2 0 & 0 & 1 1 & a & b 0 & 1 & c 0 & 0 & 1 = 1 & 2 + a & -3 + c + b 0 & 1 & 2 + c 0 & 0 & 1 = I
Onde I é a matriz identidade.
Passo 8
Agora, igualamos os elementos correspondentes:
2 + a = 0 → a = -2
2 + c = 0 → c = -2
-3 + c + b = 0 → -3 -2 + b = 0 → b = 5
Passo 9
Substituindo os valores encontrados na matriz A^-1 :