Considerando as matrizes abaixo, decida se A possui inversa. Em caso afirmativo, encontre A^-1.
A=[ccc1 & 2 & -3 0 & 1 & 2 0 & 0 & 1]

Passo 1

Então, vamos lá! Temos uma matriz A dada por:
A = 1 & 2 & -3 0 & 1 & 2 0 & 0 & 1
O objetivo é descobrir se essa matriz possui uma inversa. Se sim, vamos encontrar A^-1 . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes inversas e determinantes.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se a matriz A é inversível. Uma matriz quadrada é inversível se e somente se o seu determinante for diferente de zero.

Passo 3

Calculando o determinante de A . Como A é uma matriz triangular (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.
det(A) = 1 times 1 times 1 = 1

Passo 4

Como o determinante de A é 1, que é diferente de zero, concluímos que A é inversível.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a inversa de A , ou seja, A^-1 . Para matrizes triangulares com elementos diagonais iguais a 1, a inversa também será triangular e podemos encontrar os elementos superiores passo a passo.

Passo 6

Começamos montando a matriz inversa A^-1 como identidade e ajustando os elementos:
A^-1 = 1 & a & b 0 & 1 & c 0 & 0 & 1

Passo 7

Multiplicamos A por A^-1 e igualamos a matriz identidade:
A times A^-1 = 1 & 2 & -3 0 & 1 & 2 0 & 0 & 1 1 & a & b 0 & 1 & c 0 & 0 & 1 = 1 & 2 + a & -3 + c + b 0 & 1 & 2 + c 0 & 0 & 1 = I
Onde I é a matriz identidade.

Passo 8

Agora, igualamos os elementos correspondentes:
  1. 2 + a = 0 a = -2
  2. 2 + c = 0 c = -2
  3. -3 + c + b = 0 -3 -2 + b = 0 b = 5

Passo 9

Substituindo os valores encontrados na matriz A^-1 :
A^-1 = 1 & -2 & 5 0 & 1 & -2 0 & 0 & 1

Resposta

A matriz A possui inversa, e essa inversa é:
A^-1 = 1 & -2 & 5 0 & 1 & -2 0 & 0 & 1

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