Considerando as matrizes abaixo, decida se A possui inversa. Em caso afirmativo, encontre A^-1.
A=[ccc1 & 0 & 1 -1 & 1 & 1 0 & 1 & 0]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = 1 & 0 & 1 -1 & 1 & 1 0 & 1 & 0
é invertível e, em caso afirmativo, encontrar A^-1. O conteúdo necessário é o cálculo do determinante para testar a invertibilidade e, em seguida, o método de Gauss–Jordan para obter a inversa.

Passo 2

Calculemos o determinante de A por expansão na primeira linha:
det(A) =1cdotdet1&11&0 -0cdot(cdots) +1cdot(-1)^1+3det-1&10&1
Aqui
det1&11&0 =1cdot0-1cdot1=-1, det-1&10&1 =-1cdot1-1cdot0=-1
Logo
det(A)=1cdot(-1)+1cdot(-1)=-2neq0,
portanto A é invertível.

Passo 3

Montamos a matriz aumentada [Amid I] e aplicamos operações de linha para chegar à forma triangular superior:
[Amid I] =[ccc|ccc 1&0&1&1&0&0 -1&1&1&0&1&0 0&1&0&0&0&1 ]
Fazendo R2 R2+R1 e depois R3 R3-R2, obtemos
[ccc|ccc 1&0&1&1&0&0 0&1&2&1&1&0 0&0&-2&-1&-1&1 ]

Passo 4

Normalizamos o pivô de R3 e eliminamos acima para obter a identidade à esquerda. Primeiro
R31-2R3 ;Longrightarrow; [ccc|ccc 1&0&1&1&0&0 0&1&2&1&1&0 0&0&1&tfrac12&tfrac12&-tfrac12 ]
Em seguida,
R2 R2-2R3, R1 R1-1cdot R3
[ccc|ccc 1&0&0&tfrac12&-tfrac12&tfrac12 0&1&0&0&0&1 0&0&1&tfrac12&tfrac12&-tfrac12 ]

Passo 5

Agora a parte esquerda é a matriz identidade e a parte direita é A^-1. Assim,
A^-1 = tfrac12 & -tfrac12 & tfrac12 0 & 0 & 1 tfrac12 & tfrac12 & -tfrac12

Resposta

A^-1 = tfrac12 & -tfrac12 & tfrac12 0 & 0 & 1 tfrac12 & tfrac12 & -tfrac12

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