Considerando as matrizes abaixo, decida se A possui inversa. Em caso afirmativo, encontre A^-1.
A=[cccc1 & -1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & -1 0 & 0 & 1 & -1]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & -1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & -1 0 & 0 & 1 & -1
e pede para decidir se A é invertível e, em caso afirmativo, encontrar A^-1. Vamos usar a estrutura de blocos de A, já que ela é triangular por blocos, e aplicar fórmula de inversão de matriz triangular em blocos.

Passo 2

Observe que podemos particionar A como
A = B & U 0 & C ,
onde
B = 1 & -10 & 1, U = 0 & 10 & 0, C = 0 & -11 & -1
Como A é triangular por blocos,
det(A) = det(B),det(C)
Calculamos
det(B)=1 e det(C)=0cdot(-1)-(-1)cdot1=1, logo det(A)=1neq0. Assim, A é invertível.

Passo 3

Precisamos de e . Para uma matriz
,
temos
Aplicando a

Passo 4

Para matriz em blocos triangular
A=B&U0&C,
vale
A^-1 = B^-1 & -,B^-1U,C^-1 0 & C^-1
Calculamos primeiro
U,C^-1 =0&10&0 -1&1-1&0 =-1&00&0,
B^-1(U,C^-1) =1&10&1 -1&00&0 =-1&00&0,
logo
-,B^-1U,C^-1 =1&00&0

Resposta

A^-1 = 1 & 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 1 0 & 0 & -1 & 0

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