Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta.
Se A é uma matriz de ordem n da forma c In, então det(A)=c^n e A^-1=1c In.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma matriz A que é uma matriz identidade multiplicada por um escalar c , ou seja, A = c In . Precisamos decidir se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
  1. det(A) = c^n
  2. A^-1 = 1c In
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o determinante de uma matriz diagonal e como encontrar a inversa dessa matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o determinante de A . Como A é da forma c In , ela é uma matriz diagonal onde todos os elementos da diagonal principal são iguais a c .
A regra para calcular o determinante de uma matriz diagonal é simples: basta multiplicar os elementos da diagonal principal. Então, para A :
det(A) = c times c times dots times c = c^n
Portanto, a primeira afirmação det(A) = c^n é verdadeira.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a inversa de A , ou seja, A^-1 . Para uma matriz diagonal como A , a inversa é outra matriz diagonal onde cada elemento da diagonal principal é o inverso do correspondente em A .
Então, se A = c In , sua inversa será:
A^-1 = 1c In
Isso porque cada c na diagonal de A se torna 1c na diagonal de A^-1 .

Resposta

Both statements are true:
  1. det(A) = c^n
  2. A^-1 = 1c In

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