Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta.
Se
é uma matriz de ordem
da forma
, então
e
.
Se
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma matriz
que é uma matriz identidade multiplicada por um escalar
, ou seja,
. Precisamos decidir se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o determinante de uma matriz diagonal e como encontrar a inversa dessa matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o determinante de
. Como
é da forma
, ela é uma matriz diagonal onde todos os elementos da diagonal principal são iguais a
.
A regra para calcular o determinante de uma matriz diagonal é simples: basta multiplicar os elementos da diagonal principal. Então, para
:
Portanto, a primeira afirmação
é verdadeira.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a inversa de
, ou seja,
. Para uma matriz diagonal como
, a inversa é outra matriz diagonal onde cada elemento da diagonal principal é o inverso do correspondente em
.
Então, se
, sua inversa será:
Isso porque cada
na diagonal de
se torna
na diagonal de
.
Resposta
Both statements are true: