Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta.
Se det(A)=1 então A^-1=Aã.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente decidir se a afirmação "Se det(A) = 1 então A^-1 = A" é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, precisamos entender um pouco sobre determinantes e inversas de matrizes. Vamos precisar usar propriedades dos determinantes e das matrizes inversas para verificar se essa afirmação sempre vale.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa det(A) = 1. O determinante de uma matriz quadrada nos dá uma ideia de como a matriz escala o espaço. Se det(A) = 1, isso significa que a matriz A preserva a área (no caso de matrizes 2x2) ou o volume (para 3x3), e assim por diante.

Passo 3

Agora, vamos pensar na matriz inversa A^-1. A matriz inversa existe se o determinante de A for diferente de zero, e ela tem a propriedade de que A cdot A^-1 = I, onde I é a matriz identidade.

Passo 4

A afirmação diz que se det(A) = 1, então A^-1 = A. Vamos testar isso com um exemplo simples para ver se sempre acontece.

Passo 5

Vamos considerar a matriz identidade I, que é uma matriz onde todos os elementos da diagonal principal são 1 e os demais são 0. Para essa matriz, temos:
det(I) = 1 e I^-1 = I
Nesse caso, a afirmação é verdadeira.

Passo 6

Mas será que isso acontece com todas as matrizes com determinante igual a 1? Vamos testar com outra matriz. Considere a matriz:
A = 2 & 0 0 & 12
O determinante de A é:
det(A) = 2 times 12 = 1
Agora, vamos encontrar a inversa de A:
A^-1 = 12 & 0 0 & 2
Claramente, A^-1 neq A.

Passo 7

Então, encontramos um exemplo onde det(A) = 1, mas A^-1 neq A. Isso mostra que a afirmação não é sempre verdadeira.

Resposta

Falsa. Embora det(A) = 1, nem sempre A^-1 é igual a A.

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