Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta. .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente decidir se a afirmação "Se então " é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, precisamos entender um pouco sobre determinantes e inversas de matrizes. Vamos precisar usar propriedades dos determinantes e das matrizes inversas para verificar se essa afirmação sempre vale.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa . O determinante de uma matriz quadrada nos dá uma ideia de como a matriz escala o espaço. Se , isso significa que a matriz preserva a área (no caso de matrizes 2x2) ou o volume (para 3x3), e assim por diante.
Passo 3
Agora, vamos pensar na matriz inversa . A matriz inversa existe se o determinante de for diferente de zero, e ela tem a propriedade de que , onde é a matriz identidade.
Passo 4
A afirmação diz que se , então . Vamos testar isso com um exemplo simples para ver se sempre acontece.
Passo 5
Vamos considerar a matriz identidade , que é uma matriz onde todos os elementos da diagonal principal são 1 e os demais são 0. Para essa matriz, temos:
Nesse caso, a afirmação é verdadeira.
Passo 6
Mas será que isso acontece com todas as matrizes com determinante igual a 1? Vamos testar com outra matriz. Considere a matriz:
O determinante de A é:
det(A) = 2 times 12 = 1
Agora, vamos encontrar a inversa de A:
A^-1 = 12 & 0 0 & 2
Claramente, A^-1 neq A.
Passo 7
Então, encontramos um exemplo onde det(A) = 1, mas A^-1 neq A. Isso mostra que a afirmação não é sempre verdadeira.
Resposta
Falsa. Embora det(A) = 1, nem sempre A^-1 é igual a A.