Considerando
matrizes inversíveis de ordem
, isole
em
.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes quadradas
e
de ordem
que são inversíveis, ou seja, elas têm uma matriz inversa. A equação que precisamos resolver é
, onde
é a matriz que queremos isolar. Para resolver isso, vamos precisar entender de transposição de matrizes, propriedades de matrizes inversas e como manipular essas operações para isolar
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a transposição de uma matriz de produto segue a regra
. Aplicando essa propriedade na nossa equação
, temos:
Isso nos dá a equação:
Passo 3
Agora, queremos isolar
. Sabemos que
é inversível, então
também é inversível e a inversa de
é
. Para eliminar
do lado esquerdo, vamos multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de
:
Simplificando,
(matriz identidade), então:
Passo 4
Agora que temos
, queremos encontrar
. Sabemos que a transposição de uma matriz transposta nos dá de volta a matriz original:
. Assim, vamos transpor ambos os lados da equação:
Então:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão do lado direito. Usando a propriedade da transposição de produtos novamente
, temos:
Sabemos que
, já que a transposição duas vezes retorna à matriz original. Portanto:
Resposta
A solução para
é: