Considerando A, B matrizes inversíveis de ordem n, isole X em (A X)^t=B.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes quadradas A e B de ordem n que são inversíveis, ou seja, elas têm uma matriz inversa. A equação que precisamos resolver é (A X)^t = B , onde X é a matriz que queremos isolar. Para resolver isso, vamos precisar entender de transposição de matrizes, propriedades de matrizes inversas e como manipular essas operações para isolar X .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transposição de uma matriz de produto segue a regra (AB)^t = B^t A^t . Aplicando essa propriedade na nossa equação (A X)^t = B , temos:
(A X)^t = X^t A^t = B
Isso nos dá a equação:
X^t A^t = B

Passo 3

Agora, queremos isolar X^t . Sabemos que A é inversível, então A^t também é inversível e a inversa de A^t é (A^-1)^t . Para eliminar A^t do lado esquerdo, vamos multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de A^t :
X^t A^t (A^t)^-1 = B (A^t)^-1
Simplificando, A^t (A^t)^-1 = I (matriz identidade), então:
X^t = B (A^t)^-1

Passo 4

Agora que temos X^t , queremos encontrar X . Sabemos que a transposição de uma matriz transposta nos dá de volta a matriz original: (X^t)^t = X . Assim, vamos transpor ambos os lados da equação:
(X^t)^t = ( B (A^t)^-1 )^t
Então:
X = ( B (A^t)^-1 )^t

Passo 5

Vamos simplificar a expressão do lado direito. Usando a propriedade da transposição de produtos novamente (AB)^t = B^t A^t , temos:
( B (A^t)^-1 )^t = ( (A^t)^-1 )^t B^t
Sabemos que ( (A^t)^-1 )^t = (A^-1)^tt = A^-1 , já que a transposição duas vezes retorna à matriz original. Portanto:
X = A^-1 B^t

Resposta

A solução para X é:
X = A^-1 B^t

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