Seja
A=[cccc 1 & 1 & 1 & 1 x & 1 & 2 & 3 x^2 & 1 & 4 & 9 x^3 & 1 & 8 & 27 ]
Encontre os valores de x tais que det A=0.
(Dica: pesquise sobre o determinante de Vandermonde)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de álgebra linear onde precisamos encontrar os valores de x que fazem o determinante da matriz A ser zero. A matriz A é uma matriz 4x4, e para resolver isso, vamos usar o conceito de determinantes, especificamente o determinante de Vandermonde, que facilita bastante esse tipo de cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o determinante de uma matriz. Simplificando, o determinante é um número que a gente calcula a partir de uma matriz quadrada e que nos dá várias informações sobre a matriz, como se ela é invertível ou não. Se o determinante for zero, a matriz não tem inversa.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a matriz A :
A = 1 & 1 & 1 & 1 x & 1 & 2 & 3 x^2 & 1 & 4 & 9 x^3 & 1 & 8 & 27
Percebemos que a primeira coluna tem potências de x : x^0, x^1, x^2, x^3 . As outras colunas parecem ter padrões também, então vamos explorar isso para calcular o determinante de forma mais fácil.

Passo 4

O determinante de Vandermonde para uma matriz onde cada coluna é uma potência crescente de uma variável é dado por:
det(V) = prod1 <= i < j <= n (xj - xi)
No nosso caso, a matriz A não é exatamente uma matriz de Vandermonde, mas podemos adaptar a ideia para simplificar o cálculo do determinante.

Passo 5

Vamos notar que as últimas três colunas de A seguem potências de 1, 2, 3, etc. Isso sugere que podemos realizar operações nas colunas para transformar A em uma forma que nos permita aplicar a ideia do determinante de Vandermonde.

Passo 6

Vamos subtrair a primeira coluna das demais colunas para simplificar:
1 & 1-1 & 1-1 & 1-1 x & 1-x & 2-x & 3-x x^2 & 1-x^2 & 4-x^2 & 9-x^2 x^3 & 1-x^3 & 8-x^3 & 27-x^3 = 1 & 0 & 0 & 0 x & 1-x & 2-x & 3-x x^2 & 1-x^2 & 4-x^2 & 9-x^2 x^3 & 1-x^3 & 8-x^3 & 27-x^3
Isso facilita porque agora temos zeros na primeira linha, nas colunas 2, 3 e 4.

Passo 7

Com esses zeros, o determinante da matriz fica mais simples de calcular. O determinante de uma matriz triangular (onde abaixo ou acima da diagonal principal há somente zeros) é o produto dos elementos da diagonal principal. No nosso caso, a matriz não é triangular, mas a primeira linha com zeros nos ajuda a expandir o determinante.

Passo 8

Expandindo o determinante pela primeira linha, temos:
det(A) = 1 cdot det( 1-x & 2-x & 3-x 1-x^2 & 4-x^2 & 9-x^2 1-x^3 & 8-x^3 & 27-x^3 )
Então, precisamos calcular o determinante dessa matriz 3x3.

Passo 9

Agora, vamos observar que as entradas dessa matriz 3x3 também têm padrões que se relacionam com potências de x . Isso nos permite aplicar novamente a ideia do determinante de Vandermonde ou realizar mais operações para simplificar.

Passo 10

Para facilitar, podemos fatorar cada coluna em termos de x :
1-x & 2-x & 3-x 1-x^2 & 4-x^2 & 9-x^2 1-x^3 & 8-x^3 & 27-x^3 = 1 - x & 2 - x & 3 - x (1 - x)(1 + x) & (2 - x)(2 + x) & (3 - x)(3 + x) (1 - x)(1 + x + x^2) & (2 - x)(4 + 2x + x^2) & (3 - x)(9 + 3x + x^2)
Isso mostra que cada coluna tem um fator comum de (k - x) , onde k = 1, 2, 3 .

Passo 11

Fatorando (1 - x) , (2 - x) e (3 - x) das colunas, ficamos com:
det(A) = 1 cdot (1 - x)(2 - x)(3 - x) cdot det( 1 & 1 & 1 1 + x & 2 + x & 3 + x 1 + x + x^2 & 4 + 2x + x^2 & 9 + 3x + x^2 )
Agora, temos um determinante mais simples para calcular.

Passo 12

Calculando o determinante restante:
det( 1 & 1 & 1 1 + x & 2 + x & 3 + x 1 + x + x^2 & 4 + 2x + x^2 & 9 + 3x + x^2 )
Podemos expandir esse determinante ou notar que, devido às dependências lineares, ele será zero para certos valores de x .

Passo 13

Após simplificar os cálculos, descobrimos que o determinante total det(A) será zero quando algum dos fatores for zero:
(1 - x)(2 - x)(3 - x) = 0
Então, os valores de x que satisfazem det(A) = 0 são:

Resposta

Os valores de x que fazem det A = 0 são x = 1 , x = 2 e x = 3 .

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