Encontre os valores de x tais que det A=0.
(Dica: pesquise sobre o determinante de Vandermonde)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de álgebra linear onde precisamos encontrar os valores de x que fazem o determinante da matriz A ser zero. A matriz A é uma matriz 4x4, e para resolver isso, vamos usar o conceito de determinantes, especificamente o determinante de Vandermonde, que facilita bastante esse tipo de cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o determinante de uma matriz. Simplificando, o determinante é um número que a gente calcula a partir de uma matriz quadrada e que nos dá várias informações sobre a matriz, como se ela é invertível ou não. Se o determinante for zero, a matriz não tem inversa.
Percebemos que a primeira coluna tem potências de x : x^0, x^1, x^2, x^3 . As outras colunas parecem ter padrões também, então vamos explorar isso para calcular o determinante de forma mais fácil.
Passo 4
O determinante de Vandermonde para uma matriz onde cada coluna é uma potência crescente de uma variável é dado por:
det(V) = prod1 <= i < j <= n (xj - xi)
No nosso caso, a matriz A não é exatamente uma matriz de Vandermonde, mas podemos adaptar a ideia para simplificar o cálculo do determinante.
Passo 5
Vamos notar que as últimas três colunas de A seguem potências de 1, 2, 3, etc. Isso sugere que podemos realizar operações nas colunas para transformar A em uma forma que nos permita aplicar a ideia do determinante de Vandermonde.
Passo 6
Vamos subtrair a primeira coluna das demais colunas para simplificar:
Isso facilita porque agora temos zeros na primeira linha, nas colunas 2, 3 e 4.
Passo 7
Com esses zeros, o determinante da matriz fica mais simples de calcular. O determinante de uma matriz triangular (onde abaixo ou acima da diagonal principal há somente zeros) é o produto dos elementos da diagonal principal. No nosso caso, a matriz não é triangular, mas a primeira linha com zeros nos ajuda a expandir o determinante.
Passo 8
Expandindo o determinante pela primeira linha, temos:
Então, precisamos calcular o determinante dessa matriz 3x3.
Passo 9
Agora, vamos observar que as entradas dessa matriz 3x3 também têm padrões que se relacionam com potências de x . Isso nos permite aplicar novamente a ideia do determinante de Vandermonde ou realizar mais operações para simplificar.
Passo 10
Para facilitar, podemos fatorar cada coluna em termos de x :