Encontre os autovalores, os autoespaços associados, calcule as multiplicidades algébrica e geométrica, em seguida conclua quais das seguintes transformações lineares são diagonalizáveis. ; (Francisco Leonan)
Passo 1
Estamos em , o espaço das polinômios de grau , com transformação linear
O objetivo é achar os autovalores de , seus autoespaços (autovetores), as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor e, por fim, decidir se é diagonalizável.
Passo 2
Escolhemos a base canônica . Seja
Então
Logo, em coordenadas na base escolhida:
Isto mostra que a matriz de é diagonal
Passo 3
Como a matriz é diagonal, os autovalores são os elementos da diagonal:
lambda=0,;2,;6
A multiplicidade algébrica (m.a.) de cada um é a contagem na diagonal:
ma(0)=2, ma(2)=1, ma(6)=1
Passo 4
Os autoespaços são os subespaços gerados pelas colunas correspondentes a cada autovalor:
Para lambda=0, as colunas 1 e 2 são nulas, então E0 = ker(T - 0;I) = span1,;x, de dimensão 2, logo a multiplicidade geométrica (m.g.) de 0 é 2.
Para lambda=2, apenas a coluna 3 tem valor próprio 2, então E2 = spanx^2, de dimensão 1, m.g.(2)=1.
Para lambda=6, apenas a coluna 4 tem valor próprio 6, então E6 = spanx^3, de dimensão 1, m.g.(6)=1.
Passo 5
Como para cada autovalor lambda vale
mg(lambda)=ma(lambda) e sumlambdamg(lambda)=2+1+1=4=dimP3,
concluímos que T é diagonalizável.
Resposta
Autovalores e autoespaços:
lambda=0, E0=span1,x, ma(0)=2,;mg(0)=2;
lambda=2, E2=spanx^2, ma(2)=1,;mg(2)=1;
lambda=6, E6=spanx^3, ma(6)=1,;mg(6)=1
Como a soma das dimensões dos autoespaços é 4, T é diagonalizável.