Encontre os autovalores, os autoespaços associados, calcule as multiplicidades algébrica e geométrica, em seguida conclua quais das seguintes transformações lineares são diagonalizáveis.
T: P3(R) longrightarrow P3(R), T(p(x))=x^2 p^prime prime(x); (Francisco Leonan)

Passo 1

Estamos em P3(R), o espaço das polinômios de grau <=3, com transformação linear
Tcolon p(x)longmapsto x^2,p''(x)
O objetivo é achar os autovalores de T, seus autoespaços (autovetores), as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor e, por fim, decidir se T é diagonalizável.

Passo 2

Escolhemos a base canônica
1,;x,;x^2,;x^3. Seja
p(x)=a + b,x + c,x^2 + d,x^3
Então
p''(x)=2c + 6d,x Longrightarrow T(p)(x)=x^2l(2c+6d,xr)=2c,x^2 +6d,x^3
Logo, em coordenadas na base escolhida:
T(1)=0, T(x)=0, T(x^2)=2,x^2, T(x^3)=6,x^3
Isto mostra que a matriz de T é diagonal
[T]B= 0&0&0&0 0&0&0&0 0&0&2&0 0&0&0&6

Passo 3

Como a matriz é diagonal, os autovalores são os elementos da diagonal:
lambda=0,;2,;6
A multiplicidade algébrica (m.a.) de cada um é a contagem na diagonal:
ma(0)=2, ma(2)=1, ma(6)=1

Passo 4

Os autoespaços são os subespaços gerados pelas colunas correspondentes a cada autovalor:
  • Para lambda=0, as colunas 1 e 2 são nulas, então E0 = ker(T - 0;I) = span1,;x, de dimensão 2, logo a multiplicidade geométrica (m.g.) de 0 é 2.
  • Para lambda=2, apenas a coluna 3 tem valor próprio 2, então E2 = spanx^2, de dimensão 1, m.g. (2)=1.
  • Para lambda=6, apenas a coluna 4 tem valor próprio 6, então E6 = spanx^3, de dimensão 1, m.g. (6)=1.

Passo 5

Como para cada autovalor lambda vale
mg(lambda)=ma(lambda) e sumlambdamg(lambda)=2+1+1=4=dimP3,
concluímos que T é diagonalizável.

Resposta

Autovalores e autoespaços:
lambda=0, E0=span1,x, ma(0)=2,;mg(0)=2;
lambda=2, E2=spanx^2, ma(2)=1,;mg(2)=1;
lambda=6, E6=spanx^3, ma(6)=1,;mg(6)=1
Como a soma das dimensões dos autoespaços é 4, T é diagonalizável.

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