Considerando as matrizes
A=\left[\begin{array}{cc} 2 & 0 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{cc} 1 & 2 \\\\ 3 & -1 \end{array}\right], \quad C=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & -1 \\\\ 3 & 1 & 0 \end{array}\right], \quad D=\left[\begin{array}{cc} -1 & 0 \\\\ 3 & 1 \\\\ 0 & 2 \end{array}\right]
calcule, se possível:
(a) D C

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A=\left[\begin{array}{cc} 2 & 0 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right],\quad B=\left[\begin{array}{cc} 1 & 2 \\\\ 3 & -1 \end{array}\right],\quad C=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & -1 \\\\ 3 & 1 & 0 \end{array}\right],\quad D=\left[\begin{array}{cc} -1 & 0 \\\\ 3 & 1 \\\\ 0 & 2 \end{array}\right]
e pede, na parte (a), para calcular D C.

Passo 2

Primeiro verifiquemos se a multiplicação é possível e qual será a dimensão do resultado.
  • A matriz D tem 3 linhas e 2 colunas, ou seja, D é 3\times2.
  • A matriz C tem 2 linhas e 3 colunas, ou seja, C é 2\times3.
Regra de multiplicação de matrizes: para multiplicar D por C é necessário que o número de colunas de D seja igual ao número de linhas de C. Aqui ambos valem 2, logo a multiplicação D C é possível. O resultado terá dimensão 3\times3 (número de linhas de D por número de colunas de C).

Passo 3

Definição prática para calcular entradas: a entrada (i,j) do produto D C é o produto escalar da linha i de D com a coluna j de C. Em fórmula:
(DC)_{ij}=\sum_{k=1}^{2} D_{ik}\,C_{kj}.
Isto significa: pego os elementos correspondentes da linha i de D e da coluna j de C, multiplico termo a termo e somo.
Para facilitar, extraio as linhas de D e as colunas de C:
  • Linhas de D:
    • linha 1: (-1,\;0)
    • linha 2: (3,\;1)
    • linha 3: (0,\;2)
  • Colunas de C:
    • coluna 1: \begin{pmatrix}2\\[2pt]3\end{pmatrix}
    • coluna 2: \begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix}
    • coluna 3: \begin{pmatrix}-1\\[2pt]0\end{pmatrix}]

Passo 4

Calculemos cada entrada usando o produto escalar linha × coluna.
(DC)_{11}=(-1)\cdot 2 + 0\cdot 3 = -2 + 0 = -2.
(DC)_{12}=(-1)\cdot 1 + 0\cdot 1 = -1 + 0 = -1.
(DC)_{13}=(-1)\cdot(-1) + 0\cdot 0 = 1 + 0 = 1.
(DC)_{21}=3\cdot 2 + 1\cdot 3 = 6 + 3 = 9.
(DC)_{22}=3\cdot 1 + 1\cdot 1 = 3 + 1 = 4.
(DC)_{23}=3\cdot(-1) + 1\cdot 0 = -3 + 0 = -3.
(DC)_{31}=0\cdot 2 + 2\cdot 3 = 0 + 6 = 6.
(DC)_{32}=0\cdot 1 + 2\cdot 1 = 0 + 2 = 2.
(DC)_{33}=0\cdot(-1) + 2\cdot 0 = 0 + 0 = 0.

Passo 5

Resumo das entradas obtidas:
(DC)_{11}=-2,\quad (DC)_{12}=-1,\quad (DC)_{13}=1,
(DC)_{21}=9,\quad (DC)_{22}=4,\quad (DC)_{23}=-3,
(DC)_{31}=6,\quad (DC)_{32}=2,\quad (DC)_{33}=0.

Resposta

DC=\left[\begin{array}{ccc} -2 & -1 & 1 \\\\ 9 & 4 & -3 \\\\ 6 & 2 & 0 \end{array}\right]

Exercícios relacionados