Considerando as matrizes
A=\left[\begin{array}{cc} 2 & 0 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{cc} 1 & 2 \\\\ 3 & -1 \end{array}\right], \quad C=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & -1 \\\\ 3 & 1 & 0 \end{array}\right], \quad D=\left[\begin{array}{cc} -1 & 0 \\\\ 3 & 1 \\\\ 0 & 2 \end{array}\right]
calcule, se possível:
(c) \left(B^{T}\right)^{2}-B^{T} A

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes (vou copiar os dados do enunciado):
A=\begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}2 & 1 & -1 \\[4pt] 3 & 1 & 0\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}-1 & 0 \\[4pt] 3 & 1 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}.
A pergunta (parte (c)) é calcular, se possível, a matriz
\left(B^{T}\right)^{2}-B^{T}A.
Aqui só aparecem as matrizes A e B, ambas 2\times2, por isso o cálculo é possível (as dimensões batem).]

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular B^{T} (a transposta de B). Lembrete rápido: a transposta troca linhas por colunas, isto é (B^{T})_{ij}=B_{ji}.
Como
B=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix},
temos
B^{T}=\begin{pmatrix}1 & 3 \\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora calculamos \left(B^{T}\right)^{2}=B^{T}\cdot B^{T}. Regra de multiplicação de matrizes: se X e Y são 2\times2, então (XY)_{ij}=\sum_{k=1}^{2} X_{ik}Y_{kj}. Vou aplicar isso elemento a elemento.
Escrevendo B^{T}=\begin{pmatrix}1 & 3 \\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix}, multiplicamos:
\left(B^{T}\right)^{2} = \begin{pmatrix}1 & 3 \\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 3 \\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix}.
Calculemos cada entrada:
\begin{aligned} (\left(B^{T}\right)^{2})_{11} &= 1\cdot 1 + 3\cdot 2 = 1+6 = 7,\\[4pt] (\left(B^{T}\right)^{2})_{12} &= 1\cdot 3 + 3\cdot(-1) = 3-3 = 0,\\[4pt] (\left(B^{T}\right)^{2})_{21} &= 2\cdot 1 + (-1)\cdot 2 = 2-2 = 0,\\[4pt] (\left(B^{T}\right)^{2})_{22} &= 2\cdot 3 + (-1)\cdot(-1) = 6+1 = 7. \end{aligned}
Portanto
\left(B^{T}\right)^{2}=\begin{pmatrix}7 & 0 \\[4pt] 0 & 7\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora calculamos B^{T}A. Novamente aplicamos a regra de multiplicação de matrizes, com
B^{T}=\begin{pmatrix}1 & 3 \\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix},\qquad A=\begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
Multiplicando:
B^{T}A= \begin{pmatrix}1 & 3 \\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
Entradas:
\begin{aligned} (B^{T}A)_{11} &= 1\cdot 2 + 3\cdot 1 = 2+3 = 5,\\[4pt] (B^{T}A)_{12} &= 1\cdot 0 + 3\cdot 1 = 0+3 = 3,\\[4pt] (B^{T}A)_{21} &= 2\cdot 2 + (-1)\cdot 1 = 4-1 = 3,\\[4pt] (B^{T}A)_{22} &= 2\cdot 0 + (-1)\cdot 1 = 0-1 = -1. \end{aligned}
Então
B^{T}A=\begin{pmatrix}5 & 3 \\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Finalmente fazemos a subtração pedida:
\left(B^{T}\right)^{2}-B^{T}A = \begin{pmatrix}7 & 0 \\[4pt] 0 & 7\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}5 & 3 \\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix}.
Subtração elemento a elemento:
\begin{aligned} \text{entrada }(1,1)&: 7-5=2,\\[4pt] \text{entrada }(1,2)&: 0-3=-3,\\[4pt] \text{entrada }(2,1)&: 0-3=-3,\\[4pt] \text{entrada }(2,2)&: 7-(-1)=7+1=8. \end{aligned}]

Resposta

\begin{pmatrix}2 & -3 \\[4pt] -3 & 8\end{pmatrix}]

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