e pede para calcular o produto D A. Vou listar o que é pedido e o que foi dado:
Pedido: calcular D A.
Dados: as entradas de D e de A conforme acima.]
Passo 2
Relembrando a regra de multiplicação de matrizes (normalzinha, passo a passo):
Se X é uma matriz de dimensão m\times n e Y é de dimensão n\times p, então o produto XY está definido e tem dimensão m\times p.
A entrada (XY)_{ij} (linha i, coluna j) é dada por
(XY)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} X_{ik}\,Y_{kj},
ou seja, faz-se o produto escalar da linha i de X com a coluna j de Y.
Explicando em palavras: para obter um elemento do produto, pega-se a linha correspondente da primeira matriz, multiplica termo a termo pela coluna correspondente da segunda matriz e soma esses produtos.
Passo 3
Verificar dimensões para saber se D A está definido:
D é 3\times 2 (3 linhas, 2 colunas).
A é 2\times 2 (2 linhas, 2 colunas).
Como o número de colunas de D (que é 2) coincide com o número de linhas de A (que é 2), o produto D A está definido e terá dimensão 3\times 2.
Passo 4
Vou separar as linhas de D e as colunas de A para facilitar os produtos escalares:
Linhas de D:\text{linha}_1(D)=(-1,\,0),\qquad \text{linha}_2(D)=(3,\,1),\qquad \text{linha}_3(D)=(0,\,2).
Colunas de A:\text{col}_1(A)=\begin{pmatrix}2\\[2pt]1\end{pmatrix},\qquad \text{col}_2(A)=\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Para cada par (linha i de D, coluna j de A) vou calcular o produto escalar e obter (DA)_{ij}.]
Passo 5
Calcular a primeira linha do produto (i.e. (DA)_{1j}):
(DA)_{11}= produto escalar da linha 1 de D com a coluna 1 de A:
(DA)_{11}=(-1)\cdot 2 + 0\cdot 1 = -2 + 0 = -2.
(DA)_{12}= produto escalar da linha 1 de D com a coluna 2 de A:
(DA)_{12}=(-1)\cdot 0 + 0\cdot 1 = 0 + 0 = 0.
Passo 6
Calcular a segunda linha do produto (i.e. (DA)_{2j}):
(DA)_{21}= produto escalar da linha 2 de D com a coluna 1 de A:
(DA)_{21}=3\cdot 2 + 1\cdot 1 = 6 + 1 = 7.
(DA)_{22}= produto escalar da linha 2 de D com a coluna 2 de A:
(DA)_{22}=3\cdot 0 + 1\cdot 1 = 0 + 1 = 1.
Passo 7
Calcular a terceira linha do produto (i.e. (DA)_{3j}):
(DA)_{31}= produto escalar da linha 3 de D com a coluna 1 de A:
(DA)_{31}=0\cdot 2 + 2\cdot 1 = 0 + 2 = 2.
(DA)_{32}= produto escalar da linha 3 de D com a coluna 2 de A:
(DA)_{32}=0\cdot 0 + 2\cdot 1 = 0 + 2 = 2.
Passo 8
Agora já temos todas as entradas calculadas: (DA)_{11}=-2, (DA)_{12}=0, (DA)_{21}=7, (DA)_{22}=1, (DA)_{31}=2, (DA)_{32}=2. Isso determina completamente a matriz produto D A.