Considerando as matrizes
A=\left[\begin{array}{cc} 2 & 0 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{cc} 1 & 2 \\\\ 3 & -1 \end{array}\right], \quad C=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & -1 \\\\ 3 & 1 & 0 \end{array}\right], \quad D=\left[\begin{array}{cc} -1 & 0 \\\\ 3 & 1 \\\\ 0 & 2 \end{array}\right]
calcule, se possível:
(b) D A

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A=\begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix}-1 & 0 \\[4pt] 3 & 1 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}
e pede para calcular o produto D A. Vou listar o que é pedido e o que foi dado:
  • Pedido: calcular D A.
  • Dados: as entradas de D e de A conforme acima.]

Passo 2

Relembrando a regra de multiplicação de matrizes (normalzinha, passo a passo):
  • Se X é uma matriz de dimensão m\times n e Y é de dimensão n\times p, então o produto XY está definido e tem dimensão m\times p.
  • A entrada (XY)_{ij} (linha i, coluna j) é dada por
(XY)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} X_{ik}\,Y_{kj},
ou seja, faz-se o produto escalar da linha i de X com a coluna j de Y.
Explicando em palavras: para obter um elemento do produto, pega-se a linha correspondente da primeira matriz, multiplica termo a termo pela coluna correspondente da segunda matriz e soma esses produtos.

Passo 3

Verificar dimensões para saber se D A está definido:
  • D é 3\times 2 (3 linhas, 2 colunas).
  • A é 2\times 2 (2 linhas, 2 colunas).
    Como o número de colunas de D (que é 2) coincide com o número de linhas de A (que é 2), o produto D A está definido e terá dimensão 3\times 2.

Passo 4

Vou separar as linhas de D e as colunas de A para facilitar os produtos escalares:
  • Linhas de D: \text{linha}_1(D)=(-1,\,0),\qquad \text{linha}_2(D)=(3,\,1),\qquad \text{linha}_3(D)=(0,\,2).
  • Colunas de A: \text{col}_1(A)=\begin{pmatrix}2\\[2pt]1\end{pmatrix},\qquad \text{col}_2(A)=\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Para cada par (linha i de D, coluna j de A) vou calcular o produto escalar e obter (DA)_{ij}.]

Passo 5

Calcular a primeira linha do produto (i.e. (DA)_{1j}):
  • (DA)_{11}= produto escalar da linha 1 de D com a coluna 1 de A:
(DA)_{11}=(-1)\cdot 2 + 0\cdot 1 = -2 + 0 = -2.
  • (DA)_{12}= produto escalar da linha 1 de D com a coluna 2 de A:
(DA)_{12}=(-1)\cdot 0 + 0\cdot 1 = 0 + 0 = 0.

Passo 6

Calcular a segunda linha do produto (i.e. (DA)_{2j}):
  • (DA)_{21}= produto escalar da linha 2 de D com a coluna 1 de A:
(DA)_{21}=3\cdot 2 + 1\cdot 1 = 6 + 1 = 7.
  • (DA)_{22}= produto escalar da linha 2 de D com a coluna 2 de A:
(DA)_{22}=3\cdot 0 + 1\cdot 1 = 0 + 1 = 1.

Passo 7

Calcular a terceira linha do produto (i.e. (DA)_{3j}):
  • (DA)_{31}= produto escalar da linha 3 de D com a coluna 1 de A:
(DA)_{31}=0\cdot 2 + 2\cdot 1 = 0 + 2 = 2.
  • (DA)_{32}= produto escalar da linha 3 de D com a coluna 2 de A:
(DA)_{32}=0\cdot 0 + 2\cdot 1 = 0 + 2 = 2.

Passo 8

Agora já temos todas as entradas calculadas: (DA)_{11}=-2, (DA)_{12}=0, (DA)_{21}=7, (DA)_{22}=1, (DA)_{31}=2, (DA)_{32}=2. Isso determina completamente a matriz produto D A.

Resposta

DA=\begin{pmatrix} -2 & 0 \\[4pt] 7 & 1 \\[4pt] 2 & 2 \end{pmatrix}]

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