of (4) (2 ptos) Determine se o conjunto A é L.D. ou L.I.
A=\left\{x, e^{x}, e^{2 x}\right\} \subset \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o conjunto de funções \displaystyle A=\{\,x,\;e^x,\;e^{2x}\}\subset\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)
é linearmente dependente (L.D.) ou linearmente independente (L.I.).
Para isso, vamos aplicar a definição: dizer que são L.I. significa que a única combinação
a\,x + b\,e^x + c\,e^{2x} = 0\quad\text{(função nula em todo \(x\in\Bbb R\))}çã
ocorre quando a=b=c=0.

Passo 2

Suponha que existam escalares a,b,c\in\mathbb R tais que, para todo x\in\mathbb R,
a\,x + b\,e^x + c\,e^{2x} = 0.

Passo 3

Avalie essa igualdade em x=0:
a\cdot0 + b\cdot e^0 + c\cdot e^{0} = 0 \quad\Longrightarrow\quad b + c = 0 \quad\Longrightarrow\quad b = -c.

Passo 4

Derive em relação a x. Como a soma é sempre zero, sua derivada também é zero:
\frac{d}{dx}\bigl(a\,x + b\,e^x + c\,e^{2x}\bigr) = a + b\,e^x + 2c\,e^{2x} = 0.
Agora avalie em x=0:
a + b + 2c = 0.
Substituindo b=-c obtemos
a - c + 2c = 0 \quad\Longrightarrow\quad a + c = 0 \quad\Longrightarrow\quad a = -c.

Passo 5

Substituindo a=-c e b=-c na combinação original,
(-c)\,x + (-c)\,e^x + c\,e^{2x} = c\bigl(e^{2x}-e^x - x\bigr) = 0\quad\forall x.
A função e^{2x}-e^x - x não é identicamente nula (por exemplo, em x=1 vale e^2 - e - 1\neq0),
logo só pode ser zero para todo x se c=0. Então a=b=c=0.

Resposta

O conjunto A=\{x,e^x,e^{2x}\} é linearmente independente.

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