of (4) (2 ptos) Determine se o conjunto A é L.D. ou L.I.
A=\{(1,-2,-1),(0,1,1),(3,-4,-1)\} \subset \mathbb{R}^{3},

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3: \;v_1=(1,-2,-1),\;v_2=(0,1,1),\;v_3=(3,-4,-1), e pede para decidir se o conjunto A=\{v_1,v_2,v_3\} é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.). Para isso vamos usar a definição de independência linear.

Passo 2

Pelas propriedades, v_1,v_2,v_3 são L.I. se, na única solução do sistema
c_1\,v_1 + c_2\,v_2 + c_3\,v_3 = (0,0,0),
vierem necessariamente c_1=c_2=c_3=0. Caso contrário, são L.D.

Passo 3

Escrevendo coordenada a coordenada, obtemos o sistema
\begin{cases} c_1 + 0\cdot c_2 + 3\,c_3 = 0,\\\\ -2\,c_1 + 1\cdot c_2 -4\,c_3 = 0,\\\\ -1\,c_1 + 1\cdot c_2 -1\,c_3 = 0. \end{cases}
Da primeira equação c_1 + 3c_3=0, segue c_1=-3c_3. Substituindo na segunda:
-2(-3c_3) + c_2 -4c_3 = 0 \;\Longrightarrow\; 6c_3 + c_2 -4c_3 = 0 \;\Longrightarrow\; c_2 = -2c_3.
Na terceira equação temos
-(-3c_3) +(-2c_3) -c_3 = 3c_3 -2c_3 -c_3 = 0,
que é sempre verdade e não impõe outra condição sobre c_3.

Passo 4

Como c_3 é livre, podemos escolher c_3=1, obtendo
c_1=-3,\quad c_2=-2,\quad c_3=1,
que não é a solução trivial. Logo existe combinação linear não trivial
-3\,v_1 \;-\;2\,v_2 \;+\;1\,v_3 \;=\;(0,0,0),
o que prova que A é linearmente dependente.

Resposta

O conjunto A é linearmente dependente (L.D.).

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