Considerando a mesma matriz
do exercício 14, mostre que, se
e
, o sistema linear
possui solução única
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede o seguinte: “Dada a mesma matriz A do exercício 14, mostre que se λ≠1 e λ≠2 o sistema
só tem solução única
.”
Isso é um problema de autovalores e sistemas homogêneos.
O que vamos precisar:
Isso é um problema de autovalores e sistemas homogêneos.
O que vamos precisar:
- Reescrever
como . - Saber que uma matriz quadrada
é invertível exatamente quando , e aí o único vetor que satisfaz é . - Calcular
e ver que ele é sempre que .
Passo 2
Transforma o sistema:
Aqui
é a matriz identidade do mesmo tamanho que
.
Teoria chave:
Teoria chave:
- Se
, então é inversível. - Para um sistema homogêneo
com inversível, a única solução é o vetor nulo . - Se em alguma
tivéssemos , aí apareceriam soluções não-triviais e diríamos que é autovalor de .
Passo 3
Agora calcula o determinante. Pelo exercício 14 sabemos que
Então
Para uma matriz ,
. Aqui
, então
Se
e
, então nem
nem
é zero, de modo que
. Logo
é inversível e o sistema homogêneo
só tem a solução
.
Resposta
Portanto, para todo
lambda diferente de 1 e 2, o único vetor
X que satisfaz
A X = lambda X é