Considerando a mesma matriz A do exercício 14, mostre que, se lambda neq 1 e lambda neq 2, o sistema linear A X=lambda X possui solução única X=0.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede o seguinte: “Dada a mesma matriz A do exercício 14, mostre que se λ≠1 e λ≠2 o sistema
A X = lambda X
só tem solução única X=0.”
Isso é um problema de autovalores e sistemas homogêneos.
O que vamos precisar:
  • Reescrever A X = lambda X como (A - lambda I)X = 0.
  • Saber que uma matriz quadrada M é invertível exatamente quando det(M)neq0, e aí o único vetor que satisfaz M X=0 é X=0.
  • Calcular det(A-lambda I) e ver que ele é neq0 sempre que lambdaneq1,2.

Passo 2

Transforma o sistema:
A X = lambda X Long<=ftrightarrow A X - lambda I,X = 0 Long<=ftrightarrow l(A - lambda Ir),X = 0
Aqui I é a matriz identidade do mesmo tamanho que A.
Teoria chave:
  • Se det(A - lambda I)neq0, então A - lambda I é inversível.
  • Para um sistema homogêneo M X = 0 com M inversível, a única solução é o vetor nulo X=0.
  • Se em alguma lambda tivéssemos det(A - lambda I)=0, aí apareceriam soluções não-triviais e diríamos que lambda é autovalor de A.

Passo 3

Agora calcula o determinante. Pelo exercício 14 sabemos que
Então
Para uma matriz ,
. Aqui , então
Se e , então nem nem é zero, de modo que
. Logo é inversível e o sistema homogêneo
só tem a solução .

Resposta

Portanto, para todo lambda diferente de 1 e 2, o único vetor X que satisfaz A X = lambda X é
boxedX = 0

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