Encontre a decomposição L U da matriz A, em cada item abaixo, e a solução do sistema A X=B, resolvendo os sistemas triangulares L Y=B e U X=Y.
A=(lll1 & -2 & 1 2 & -1 & 4 3 & -3 & 2) e B=(c1 7 5).

Passo 1

Então, o que a questão tá pedindo? A gente tem a matriz
A = 1 & -2 & 1 2 & -1 & 4 3 & -3 & 2 e o vetor B = 175,
e quer:
  1. Uma fatoração A = L,U, com L triangular inferior (com 1’s na diagonal) e U triangular superior.
  2. Resolver o sistema A X = B usando primeiro L Y = B (substituição pra frente) e depois U X = Y (substituição pra trás).
Conteúdo envolvido: eliminação de Gauss/Doolittle para obter L e U, e depois substituições. Vou explicar cada pedacinho como se a gente estivesse trocando ideia na sala de aula, sem pular nenhum passo.

Passo 2

Construindo L e U pelo método de Doolittle:
  1. A gente escreve
A = L,U, L = 1 & 0 & 0 ell21 & 1 & 0 ell31 & ell32 & 1 , U = u11&u12&u13 0&u22&u23 0&0&u33
  1. No passo 1 da eliminação, pivot em a11=1. Calculamos
ell21 = a21u11 = 21 = 2, ell31 = a31u11 = 31 = 3
Aí zeramos abaixo do pivô:
  • Linha 2 nova = linha 2 – ell21,× linha 1
  • Linha 3 nova = linha 3 – ell31,× linha 1
    Isso dá as novas entradas de U na primeira coluna e define os próximos pivôs.
  1. Depois de subtrair, a matriz fica
1 & -2 & 1 0 & 3 & 2 0 & 3 & -1
Agora o pivô de linha 2 é u22=3. Calculamos
ell32 = (nova entrada 3,2)u22 = 33 = 1
E zeramos a entrada (3,2): linha 3 nova = linha 3 – ell32,× linha 2.
4) Após isso, a linha 3 vira (0,0,-3), que é u33.
Resumindo, os valores são:
L = 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 3 & 1 & 1 , U = 1 & -2 & 1 0 & 3 & 2 0 & 0 & -3

Passo 3

Agora resolvemos por substituição pra frente.
Isso dá:
  1. .
  2. ; .
  3. ; ,
    então .
    Logo

Passo 4

Agora vem por substituição pra trás.
Da última equação: ; .
Da segunda: ; ,
logo .
Da primeira: ; ,
então .

Resposta

L = 1&0&02&1&03&1&1,
U = 1&-2&10&3&20&0&-3,
e a solução do sistema é
X = 211

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