Encontre a decomposição da matriz , em cada item abaixo, e a solução do sistema , resolvendo os sistemas triangulares e . e B=(c1 7 5).
Passo 1
Então, o que a questão tá pedindo? A gente tem a matriz
A = 1 & -2 & 1 2 & -1 & 4 3 & -3 & 2 e o vetor B = 175,
e quer:
Uma fatoração A = L,U, com L triangular inferior (com 1’s na diagonal) e U triangular superior.
Resolver o sistema A X = B usando primeiro L Y = B (substituição pra frente) e depois U X = Y (substituição pra trás).
Conteúdo envolvido: eliminação de Gauss/Doolittle para obter L e U, e depois substituições. Vou explicar cada pedacinho como se a gente estivesse trocando ideia na sala de aula, sem pular nenhum passo.
Passo 2
Construindo L e U pelo método de Doolittle:
A gente escreve
A = L,U, L = 1 & 0 & 0 ell21 & 1 & 0 ell31 & ell32 & 1 , U = u11&u12&u13 0&u22&u23 0&0&u33
No passo 1 da eliminação, pivot em a11=1. Calculamos
ell21 = a21u11 = 21 = 2, ell31 = a31u11 = 31 = 3
Aí zeramos abaixo do pivô:
Linha 2 nova = linha 2 – ell21,× linha 1
Linha 3 nova = linha 3 – ell31,× linha 1
Isso dá as novas entradas de U na primeira coluna e define os próximos pivôs.
Depois de subtrair, a matriz fica
1 & -2 & 1 0 & 3 & 2 0 & 3 & -1
Agora o pivô de linha 2 é u22=3. Calculamos
ell32 = (nova entrada 3,2)u22 = 33 = 1
E zeramos a entrada (3,2): linha 3 nova = linha 3 – ell32,× linha 2.
4) Após isso, a linha 3 vira (0,0,-3), que é u33.