Considere a matriz (ccc0 & 0 & -2 1 & 2 & 1 1 & 0 & 3). Encontre a solução geral de cada um dos sistemas:
A X=2 X

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: a gente tem a matriz
A = 0 & 0 & -2 1 & 2 & 1 1 & 0 & 3
e quer achar a solução geral do sistema
A X = 2,X
Isso é um problema de autovalores/autovetores: o que rola é encontrar todos os vetores X (não nulos) que satisfaçam (A - 2I)X = 0.
Matéria envolvida: Álgebra Linear—resolução de sistemas lineares homogêneos e definição de autovalores/autovetores. Vamos precisar fazer a subtração de 2I e aplicar eliminação de Gauss para achar a base do espaço solução.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz A - 2I. Como
2I = 2&0&00&2&00&0&2,
temos
A - 2I = 0-2 & 0 & -2 1 & 2-2 & 1 1 & 0 & 3-2 = -2 & 0 & -2 1 & 0 & 1 1 & 0 & 1

Passo 3

Aí a gente resolve o sistema homogêneo
isto é

Passo 4

Agora, eliminando via Gauss:
  1. Troco a linha 1 com a linha 2 (pra ter pivô 1):
1 & 0 & 1 -2& 0 & -2 1 & 0 & 1
  1. Faço L2 L2 + 2L1 e L3 L3 - L1:
1 & 0 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
Isso mostra que só existe pivô na coluna 1. As colunas 2 e 3 são livres.

Passo 5

Da linha 1 vem
Chamando e , temos
Ou seja, o vetor solução é

Resposta

A solução geral de A X = 2X é
boxedX = s010 + t-101, s,tinR

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