Encontre a decomposição L U da matriz A, em cada item abaixo, e a solução do sistema A X=B, resolvendo os sistemas triangulares L Y=B e U X=Y.
A=(cc3 & 4 -2 & 1) e B=binom-25

Passo 1

O exercício pede para fatorar a matriz
A = 3 & 4 -2 & 1
em A = L,U, onde L é triângulo inferior com 1’s na diagonal e U é triângulo superior. Depois, usando essa fatoração, a gente resolve o sistema
A X = B, B = -25
através de dois sistemas triangulares:
  1. L,Y = B
  2. U,X = Y.
    Matéria envolvida: fatoração LU (método de Doolittle) e resolução de sistemas triangulares. Vamos precisar de fórmulas básicas como
u11=a11, u12=a12, ell21=a21u11, u22=a22-ell21,u12

Passo 2

Vamos construir
L=1&0 ell21&1, U=u11&u120&u22
Pelo método de Doolittle:
  1. u11=a11=3.
  2. u12=a12=4.
  3. ell21=dfraca21u11=dfrac-23
  4. u22=a22-ell21,u12 =1-!l(-tfrac23r)cdot4 =1+tfrac83 =tfrac113
    Logo
L=1&0[6pt]-tfrac23&1, U=3&4[2pt]0&tfrac113
]

Passo 3

Agora resolvemos L,Y=B. Escrevendo
;Y=(y1,y2)^T,
temos
1cdot y1 + 0cdot y2 = -2, -tfrac23,y1 + 1cdot y2 = 5
Da primeira equação vem
y1 = -2
Na segunda,
-tfrac23cdot(-2) + y2 = 5 Longrightarrow tfrac43 + y2 = 5 Longrightarrow y2 = 5 - tfrac43 = tfrac15-43 = tfrac113
Logo
Y = -2[3pt]tfrac113
]

Passo 4

Agora resolvemos [U,X=Y). Chamando , o sistema é
Da segunda equação sai direto
Na primeira, coloca (x_2=1]:

Resposta

Fatoração LU:
L = 1&0[3pt]-tfrac23&1, U = 3&4[3pt]0&tfrac113
Solução do sistema A X = B:
X = -2[3pt]1
]

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