Considere a matriz
. Encontre a solução geral de cada um dos sistemas:
A X=3 X
Passo 1
E aí! O enunciado dá a matriz
e pede pra gente achar a solução geral de
Isso é um problema de autovalor/autovetor: buscar
Xneq0 tal que
AX=3X . Na prática, vamos resolver o sistema homogêneo
usando eliminação de Gauss e também verificar o determinante para saber se existe solução não‐trivial.
Passo 2
Montamos
e escrevemos o sistema
Passo 3
Resolvendo linha a linha:
– Da 3ª equação já tiramosx=0 .
– Na 1ª:-3cdot0 -2z=0 ⇒
-2z=0 ⇒
z=0 .
– Na 2ª:0 - y + 0 =0 ⇒
-y=0 ⇒
y=0 .
Logo,x=y=z=0 .
– Da 3ª equação já tiramos
– Na 1ª:
– Na 2ª:
Logo,
Passo 4
Teoria manda que, num sistema homogêneo
(A-3I)X=0 , só aparece solução não‐trivial se
det(A-3I)=0 . Aqui
então a única solução é a trivial
X=0 . Isso mostra que
lambda=3 não é autovalor de
A .
Resposta
A solução geral do sistema
AX=3X é