Considerando o Método Babilônico calcule, com precisão de 8 casas decimais, as raízes quadradas abaixo:
\sqrt{3} e a=3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular, usando o Método Babilônico, as raízes quadradas com precisão de 8 casas decimais para os casos:
  • \sqrt{3};
  • a raiz quadrada de a com a=3 (que é o mesmo valor de \sqrt{3}).
Informações dadas:
  • O número cujo quadrado se quer extrair é a=3.
  • A precisão requerida é de 8 casas decimais (ou seja, o resultado final deve estar correto ao ser arredondado para 8 casas decimais).

Passo 2

O que é o Método Babilônico (explicação didática):
  • É um método iterativo para aproximar \sqrt{a}. Parte-se de um palpite inicial x_0 e gera-se uma sequência x_1,x_2,\dots que converge para \sqrt{a}.
  • A fórmula de iteração é
x_{n+1}=\frac{x_n+\dfrac{a}{x_n}}{2}.
Explicando a fórmula de forma simples: pega-se a média aritmética entre o palpite atual x_n e o quociente a/x_n. Se x_n é maior que \sqrt{a}, então a/x_n é menor que \sqrt{a} e a média traz x_{n+1} mais perto do valor certo; o mesmo vale no caso simétrico. É basicamente o Método de Newton aplicado à função f(x)=x^2-a.
O que cada símbolo significa:
  • a é o número cujo quadrado queremos (aqui a=3).
  • x_n é a aproximação atual.
  • x_{n+1} é a próxima aproximação calculada pela fórmula acima.
Critério de parada (como garantir 8 casas decimais):
  • Para garantir que o valor arredondado com 8 casas decimais esteja correto, basta que a diferença entre duas iterações consecutivas seja menor que 5\times 10^{-9}. Isso porque, se |x_{n+1}-x_n|<5\times 10^{-9}, então a mudança possível ao arredondar na 8ª casa decimal é menor que 0,5\cdot10^{-8} e o dígito da 8ª casa já está estável.
  • Portanto usaremos como teste de parada
|x_{n+1}-x_n|<5\times 10^{-9}.

Passo 3

Escolha do palpite inicial:
  • Uma escolha simples e comum é x_0=\dfrac{a}{2}. Para a=3 tomamos
x_0=\frac{3}{2}=1{,}5.
Justificativa: é fácil de calcular e geralmente converge rápido para o caso de números positivos.

Passo 4

Aplicando as iterações passo a passo (mostrando contas detalhadas):
Iteração 0 (palpite inicial)
x_0=\frac{3}{2}=1{,}5.
Iteração 1
x_1=\frac{x_0+\dfrac{3}{x_0}}{2}=\frac{1{,}5+\dfrac{3}{1{,}5}}{2}=\frac{1{,}5+2}{2}=\frac{3{,}5}{2}=1{,}75.
Iteração 2 (aqui aproveitamos formas fracionárias para exatidão)
x_2=\frac{x_1+\dfrac{3}{x_1}}{2}=\frac{\tfrac{7}{4}+\dfrac{3}{7/4}}{2}=\frac{\tfrac{7}{4}+\tfrac{12}{7}}{2} =\frac{\tfrac{49}{28}+\tfrac{48}{28}}{2}=\frac{\tfrac{97}{28}}{2}=\frac{97}{56}.
Convertendo para decimal:
x_2=\frac{97}{56}\approx 1{,}7321428571428572.
Iteração 3
Calculemos 3/x_2 exatamente como fração: 3/x_2=3/(97/56)=168/97. Então
x_3=\frac{x_2+\dfrac{3}{x_2}}{2}=\frac{\tfrac{97}{56}+\tfrac{168}{97}}{2}=\frac{18817}{10864}.
Convertendo para decimal (com várias casas para controle):
x_3=\frac{18817}{10864}\approx 1{,}7320508100147276.
Verificação da diferença com a iteração anterior:
|x_3-x_2|\approx 1{,}7320508100147276-1{,}7321428571428572\approx 9{,}20471281296\times10^{-5},
ainda maior que 5\times10^{-9}, então continuamos.
Iteração 4
Agora usamos x_3 e aplicamos a fórmula:
x_4=\frac{x_3+\dfrac{3}{x_3}}{2}.
Para evitar trabalho manual enorme, notamos que x_3 já está muito próximo da raiz exata \sqrt{3}. Calculando numericamente,
x_4\approx 1{,}7320508075688772.
Verificamos a diferença
|x_4-x_3|\approx 2{,}4458504\times10^{-9}<5\times10^{-9},
portanto o critério de parada foi satisfeito aqui.
Observação didática sobre a convergência:
  • A partir de x_2 para x_3 houve um grande ganho de precisão; de x_3 para x_4 a correção já é da ordem 10^{-9}. O Método Babilônico (Newton) converge quadraticamente: o número de casas corretas praticamente dobra a cada iteração quando está próximo da solução.

Passo 5

Arredondamento final para 8 casas decimais:
  • O valor obtido em x_4 é \,x_4\approx1{,}7320508075688772.
  • Arredondando para 8 casas decimais (observar o 9º dígito para decidir o arredondamento):
    • As oito primeiras casas decimais de x_4 são 73205080.
    • O 9º dígito é 7 (maior ou igual a 5), então a 8ª casa (0) é arredondada para 1.
  • Resultado arredondado a 8 casas decimais:
1{,}73205081.

Resposta

\sqrt{3}=1{,}73205081
\sqrt{a}=1{,}73205081

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