Considerando o Método Babilônico calcule, com precisão de 8 casas decimais, as raízes quadradas abaixo:
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular, usando o Método Babilônico, as raízes quadradas com precisão de 8 casas decimais para os casos:
-
; - a raiz quadrada de
com (que é o mesmo valor de ).
Informações dadas:
- O número cujo quadrado se quer extrair é
. - A precisão requerida é de 8 casas decimais (ou seja, o resultado final deve estar correto ao ser arredondado para 8 casas decimais).
Passo 2
O que é o Método Babilônico (explicação didática):
- É um método iterativo para aproximar
. Parte-se de um palpite inicial e gera-se uma sequência que converge para . - A fórmula de iteração é
Explicando a fórmula de forma simples: pega-se a média aritmética entre o palpite atual
e o quociente
. Se
é maior que
, então
é menor que
e a média traz
mais perto do valor certo; o mesmo vale no caso simétrico. É basicamente o Método de Newton aplicado à função
.
O que cada símbolo significa:
-
é o número cujo quadrado queremos (aqui ). -
é a aproximação atual. -
é a próxima aproximação calculada pela fórmula acima.
Critério de parada (como garantir 8 casas decimais):
- Para garantir que o valor arredondado com 8 casas decimais esteja correto, basta que a diferença entre duas iterações consecutivas seja menor que
. Isso porque, se , então a mudança possível ao arredondar na 8ª casa decimal é menor que e o dígito da 8ª casa já está estável. - Portanto usaremos como teste de parada
Passo 3
Escolha do palpite inicial:
- Uma escolha simples e comum é
. Para tomamos
Justificativa: é fácil de calcular e geralmente converge rápido para o caso de números positivos.
Passo 4
Aplicando as iterações passo a passo (mostrando contas detalhadas):
Iteração 0 (palpite inicial)
Iteração 1
Iteração 2 (aqui aproveitamos formas fracionárias para exatidão)
Convertendo para decimal:
Iteração 3
Calculemos exatamente como fração:
. Então
Calculemos
Convertendo para decimal (com várias casas para controle):
Verificação da diferença com a iteração anterior:
ainda maior que
, então continuamos.
Iteração 4
Agora usamos e aplicamos a fórmula:
Agora usamos
Para evitar trabalho manual enorme, notamos que
já está muito próximo da raiz exata
. Calculando numericamente,
Verificamos a diferença
portanto o critério de parada foi satisfeito aqui.
Observação didática sobre a convergência:
- A partir de
para houve um grande ganho de precisão; de para a correção já é da ordem . O Método Babilônico (Newton) converge quadraticamente: o número de casas corretas praticamente dobra a cada iteração quando está próximo da solução.
Passo 5
Arredondamento final para 8 casas decimais:
- O valor obtido em
é . - Arredondando para 8 casas decimais (observar o 9º dígito para decidir o arredondamento):
- As oito primeiras casas decimais de
são . - O 9º dígito é
(maior ou igual a 5), então a 8ª casa (0) é arredondada para 1.
- As oito primeiras casas decimais de
- Resultado arredondado a 8 casas decimais: