Considerando o Método Babilônico calcule, com precisão de 8 casas decimais, as raízes quadradas abaixo:
e
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Calcular, pelo Método Babilônico, a raiz quadrada de
e a raiz quadrada de . - A precisão exigida é de 8 casas decimais (ou seja, os resultados devem estar corretos ao arredondar para 8 casas).
- Não foi dado outro detalhe, então vou aplicar o método padrão (iteração de Newton para raiz quadrada) até que a solução esteja estável nas 8 casas decimais.
Passo 2
Apresentação do Método Babilônico (fórmula e significado das letras), e critério de parada:
- O Método Babilônico para obter
(onde é o número cujo raiz se quer) usa a iteração
Aqui:
-
é o número cujo raiz quadrada procuramos; -
é a aproximação atual (inicialmente escolhemos um chute ); -
é a próxima aproximação obtida pela fórmula acima. - Intuição curta: a fórmula combina a aproximação atual
com o seu “recíproco ajustado” ; é essencialmente o passo de Newton para resolver . Esse método converge muito rápido (convergência quadrática) quando é razoável. - Critério prático para garantir 8 casas decimais: queremos que o valor arredondado nas 8 casas não mude. Como não conhecemos a raiz exata, usar um critério seguro é verificar que duas iterações consecutivas diferem menos que metade da unidade na 9.ª casa decimal, isto é tomar tolerância
Pararei quando
. Esse critério, aliado à rápida convergência do método, garante que o valor arredondado a 8 casas esteja correto.
Passo 3
Aplicando ao caso
. Escolha do chute inicial:
- Escolho
(um chute simples, maior que ).
Agora calculo as iterações e mostro os números com precisão suficiente.
Iterações:
-
. -
-
Observação:
é exatamente e corresponde a . -
Nota: aqui utilizamos que
. O resultado tem valor aproximado . -
Calculo de diferença entre iterados:
. Portanto atingimos a tolerância.
Interpretação:
- Como a diferença entre
e já é menor que a tol definida, a aproximação estável para 8 casas decimais é a representação de arredondada a 8 casas.
Arredondando
a 8 casas decimais obtemos:
Passo 4
Aplicando ao caso
(ou seja,
). Escolha do chute inicial:
- Escolho
(chute simples: metade do número; funciona bem).
Iterações:
-
-
-
Observação:
. -
-
(na prática à precisão mostrada). -
(até a precisão utilizada a diferença se torna zero).
Verificação do critério:
-
é muito menor que (praticamente zero), então a sequência estabilizou. - Arredondando para 8 casas decimais obtemos:
Passo 5
Resumo rápido do porquê funciona na prova (dica prática):
- Use
. - Escolha um chute
simples (por exemplo ou um inteiro próximo). - Calcule iterações até que
(para garantir 8 casas decimais). - Arredonde o
final para 8 casas decimais. - O método converge muito rápido (quadraticamente), então em poucos passos (geralmente 3–5) já atinge alta precisão.