Considerando o Método Babilônico calcule, com precisão de 8 casas decimais, as raízes quadradas abaixo:
\sqrt{3} e a=9.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Calcular, pelo Método Babilônico, a raiz quadrada de 3 e a raiz quadrada de a=9.
  • A precisão exigida é de 8 casas decimais (ou seja, os resultados devem estar corretos ao arredondar para 8 casas).
  • Não foi dado outro detalhe, então vou aplicar o método padrão (iteração de Newton para raiz quadrada) até que a solução esteja estável nas 8 casas decimais.

Passo 2

Apresentação do Método Babilônico (fórmula e significado das letras), e critério de parada:
  • O Método Babilônico para obter \sqrt{S} (onde S>0 é o número cujo raiz se quer) usa a iteração
x_{n+1}=\frac{x_n+\dfrac{S}{x_n}}{2}.
Aqui:
  • S é o número cujo raiz quadrada procuramos;
  • x_n é a aproximação atual (inicialmente escolhemos um chute x_0);
  • x_{n+1} é a próxima aproximação obtida pela fórmula acima.
  • Intuição curta: a fórmula combina a aproximação atual x_n com o seu “recíproco ajustado” \dfrac{S}{x_n}; é essencialmente o passo de Newton para resolver x^2-S=0. Esse método converge muito rápido (convergência quadrática) quando x_0 é razoável.
  • Critério prático para garantir 8 casas decimais: queremos que o valor arredondado nas 8 casas não mude. Como não conhecemos a raiz exata, usar um critério seguro é verificar que duas iterações consecutivas diferem menos que metade da unidade na 9.ª casa decimal, isto é tomar tolerância
\text{tol} = 5\times 10^{-9}.
Pararei quando |x_{n+1}-x_n|<\text{tol}. Esse critério, aliado à rápida convergência do método, garante que o valor arredondado a 8 casas esteja correto.

Passo 3

Aplicando ao caso \sqrt{3}. Escolha do chute inicial:
  • Escolho x_0=2 (um chute simples, maior que \sqrt{3}).
    Agora calculo as iterações e mostro os números com precisão suficiente.
Iterações:
  • x_0=2.
  • x_1=\dfrac{2+\dfrac{3}{2}}{2}=\dfrac{2+1{,}5}{2}=1{,}75.
  • x_2=\dfrac{1{,}75+\dfrac{3}{1{,}75}}{2}=\dfrac{1{,}75+1{,}7142857142857142}{2}=1{,}7321428571428572.
    Observação: x_2 é exatamente \dfrac{97}{56} e corresponde a 1{,}7321428571428572.
  • x_3=\dfrac{1{,}7321428571428572+\dfrac{3}{1{,}7321428571428572}}{2}=\dfrac{1{,}7321428571428572+1{,}7319587628865979}{2}=1{,}7320508100147275.
    Nota: aqui utilizamos que \dfrac{3}{1{,}7321428571428572}=1{,}7319587628865979. O resultado x_3 tem valor aproximado 1{,}7320508100147275.
  • x_4=\dfrac{1{,}7320508100147275+\dfrac{3}{1{,}7320508100147275}}{2}\approx 1{,}7320508075688769.
    Calculo de diferença entre iterados:
    |x_4-x_3|\approx 2{,}4458506\times10^{-9}<5\times10^{-9}. Portanto atingimos a tolerância.
Interpretação:
  • Como a diferença entre x_4 e x_3 já é menor que a tol definida, a aproximação estável para 8 casas decimais é a representação de x_4 arredondada a 8 casas.
Arredondando x_4 a 8 casas decimais obtemos:
\sqrt{3}\approx 1{,}73205081.

Passo 4

Aplicando ao caso a=9 (ou seja, \sqrt{9}). Escolha do chute inicial:
  • Escolho x_0=\dfrac{9}{2}=4{,}5 (chute simples: metade do número; funciona bem).
Iterações:
  • x_0=4{,}5.
  • x_1=\dfrac{4{,}5+\dfrac{9}{4{,}5}}{2}=\dfrac{4{,}5+2}{2}=3{,}25.
  • x_2=\dfrac{3{,}25+\dfrac{9}{3{,}25}}{2}=\dfrac{3{,}25+2{,}769230769230769}{2}=3{,}0096153846153846.
    Observação: x_2=\dfrac{313}{104}=3{,}0096153846153846.
  • x_3=\dfrac{3{,}0096153846153846+\dfrac{9}{3{,}0096153846153846}}{2}\approx 3{,}000018982630273.
  • x_4=\dfrac{3{,}000018982630273+\dfrac{9}{3{,}000018982630273}}{2}\approx 3{,}0000000000000004 (na prática 3{,}0000000000 à precisão mostrada).
  • x_5=\dfrac{3{,}0000000000000004+\dfrac{9}{3{,}0000000000000004}}{2}=3 (até a precisão utilizada a diferença se torna zero).
Verificação do critério:
  • |x_5-x_4| é muito menor que 5\times10^{-9} (praticamente zero), então a sequência estabilizou.
  • Arredondando para 8 casas decimais obtemos:
\sqrt{9}=3{,}00000000.

Passo 5

Resumo rápido do porquê funciona na prova (dica prática):
  • Use x_{n+1}=\dfrac{x_n+S/x_n}{2}.
  • Escolha um chute x_0 simples (por exemplo x_0=S/2 ou um inteiro próximo).
  • Calcule iterações até que |x_{n+1}-x_n|<5\times10^{-9} (para garantir 8 casas decimais).
  • Arredonde o x_{n+1} final para 8 casas decimais.
  • O método converge muito rápido (quadraticamente), então em poucos passos (geralmente 3–5) já atinge alta precisão.

Resposta

\sqrt{3}=1{,}73205081
\sqrt{9}=3{,}00000000

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