Utilize a expansão em Série de Taylor da função f(x)=e^{x}, centrada no ponto a=0, truncada até o termo de terceira ordem. Sabendo que e^{x} \approx 1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!} :
(a) Aproxime o valor de e^{2} utilizando a expressão acima com x=2.
(b) Compare o valor obtido com o valor real de e^{2} \approx 7.3891.
(c) Calcule e comente o erro absoluto da aproximação.

Passo 1

O enunciado pede três coisas, usando a expansão de Taylor de f(x)=e^{x} centrada em a=0 truncada até a terceira ordem (já fornecida):
  • (a) Aproximar e^{2} substituindo x=2 na soma truncada
e^{x}\approx 1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}.
  • (b) Comparar o valor obtido na (a) com o valor real dado e^{2}\approx 7,3891.
  • (c) Calcular o erro absoluto da aproximação (diferença em módulo entre o valor real e a aproximação) e comentar sobre esse erro.
Informações relevantes dadas:
  • Série truncada até ordem 3: \;1+x+\dfrac{x^{2}}{2!}+\dfrac{x^{3}}{3!}.
  • Valor de comparação: e^{2}\approx 7,3891.

Passo 2

Rápida explicação didática (o porquê da fórmula e o que significa truncar):
A expansão de Taylor de uma função f em torno de a é
f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}+R_{n}(x),
onde f^{(k)}(a) é a k-ésima derivada de f avaliada em a e R_{n}(x) é o resto (o termo que foi desprezado ao truncar). No caso de f(x)=e^{x} todas as derivadas são iguais a e^{x}, então em a=0 temos f^{(k)}(0)=e^{0}=1 para todo k. Por isso a série de Taylor centrada em 0 (também chamada série de Maclaurin) de e^{x} é
e^{x}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{4}}{4!}+\cdots.
Truncar até a terceira ordem significa manter os termos até k=3 e desprezar todos os termos k\ge4. O resto na forma de Lagrange é
R_{3}(x)=\frac{e^{\xi}}{4!}x^{4}
para algum \xi entre 0 e x. Isso garante que o erro depende dos termos maiores (a partir de x^{4}) e da função e^{\xi}.

Passo 3

Aplicando a expressão truncada com x=2. Vou calcular termo a termo, devagarinho:
Termos:
\begin{aligned} \text{term0} &= 1,\\[4pt] \text{term1} &= x = 2,\\[4pt] \text{term2} &= \frac{x^{2}}{2!}=\frac{2^{2}}{2}=\frac{4}{2}=2,\\[4pt] \text{term3} &= \frac{x^{3}}{3!}=\frac{2^{3}}{6}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}. \end{aligned}
Agora somo os quatro termos:
1+2+2+\frac{4}{3}=5+\frac{4}{3}=\frac{15+4}{3}=\frac{19}{3}.
Em decimal:
\frac{19}{3}=6{,}333333333\ldots
Portanto, a aproximação (item (a)) é \dfrac{19}{3} ou aproximadamente 6{,}333333333.]

Passo 4

Comparação com o valor real dado e^{2}\approx 7{,}3891.
Observação imediata: a aproximação 6{,}3333\ldots é menor que 7{,}3891. Ou seja, a soma truncada subestima e^{2}. Isso faz sentido porque todos os termos da série de e^{x} são positivos para x>0, então ao desprezar os termos de ordem \ge4 estamos removendo contribuições positivas — logo o truncamento fica menor que o valor exato.

Passo 5

Cálculo do erro absoluto e comentário:
O erro absoluto é
\text{erro absoluto}=\left|e^{2}-\text{aproximação}\right|=\left|7{,}3891-\frac{19}{3}\right|.çã
Calculo numérico:
\frac{19}{3}\approx 6{,}333333333,\qquad 7{,}3891-6{,}333333333\approx 1{,}055766667.
Arredondando para quatro casas decimais: 1{,}0558.
Comentário sobre o tamanho do erro: esse erro é relativamente grande (cerca de 1{,}0558, ou aproximadamente 14{,}3\% relativo, pois \dfrac{1{,}0558}{7{,}3891}\approx 0{,}1429). A razão é que para x=2 os termos de ordem superior (como x^{4}/4!=16/24\approx 0{,}6667, x^{5}/5!=32/120\approx 0{,}2667, etc.) ainda contribuem bastante; truncar só até x^{3} não captura essas contribuições. A forma do resto em Lagrange fornece uma expressão teórica
R_{3}(2)=\frac{e^{\xi}}{4!}2^{4}=\frac{e^{\xi}\cdot 16}{24}=\frac{2}{3}e^{\xi}
com \xi\in(0,2). Isso implica R_{3}(2) está entre \dfrac{2}{3}e^{0}=\tfrac{2}{3} e \dfrac{2}{3}e^{2}\approx 4{,}9261; o erro real 1{,}0558 está dentro desse intervalo. Em termos práticos: para obter uma aproximação melhor de e^{2} com a série de Taylor centrada em 0 convém incluir mais termos (ordens maiores) até que os termos negligenciados sejam pequenos comparados à precisão desejada.

Resposta

(a) \displaystyle e^{2}\approx \frac{19}{3}\approx 6{,}333333333
(b) Aproximação: \displaystyle \frac{19}{3}\approx 6{,}333333333. Valor real: \displaystyle e^{2}\approx 7{,}3891. A aproximação subestima o valor real.
(c) Erro absoluto: \displaystyle \left|7{,}3891-\frac{19}{3}\right|\approx 1{,}055766667\approx 1{,}0558

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