Utilize a expansão em Série de Taylor da função f(x)=e^{x}, centrada no ponto a=0, truncada até o termo de terceira ordem. Sabendo que e^{x} \approx 1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!} :
(a) Aproxime o valor de e^{2} utilizando a expressão acima com x=2.
(b) Compare o valor obtido com o valor real de e^{2} \approx 7.3891.
(c) Calcule e comente o erro absoluto da aproximação.
Passo 1
O enunciado pede três coisas, usando a expansão de Taylor de f(x)=e^{x} centrada em a=0 truncada até a terceira ordem (já fornecida):
(a) Aproximar e^{2} substituindo x=2 na soma truncada
onde f^{(k)}(a) é a k-ésima derivada de f avaliada em a e R_{n}(x) é o resto (o termo que foi desprezado ao truncar). No caso de f(x)=e^{x} todas as derivadas são iguais a e^{x}, então em a=0 temos f^{(k)}(0)=e^{0}=1 para todo k. Por isso a série de Taylor centrada em 0 (também chamada série de Maclaurin) de e^{x} é
Portanto, a aproximação (item (a)) é \dfrac{19}{3} ou aproximadamente 6{,}333333333.]
Passo 4
Comparação com o valor real dado e^{2}\approx 7{,}3891.
Observação imediata: a aproximação 6{,}3333\ldots é menor que 7{,}3891. Ou seja, a soma truncada subestima e^{2}. Isso faz sentido porque todos os termos da série de e^{x} são positivos para x>0, então ao desprezar os termos de ordem \ge4 estamos removendo contribuições positivas — logo o truncamento fica menor que o valor exato.
Arredondando para quatro casas decimais: 1{,}0558.
Comentário sobre o tamanho do erro: esse erro é relativamente grande (cerca de 1{,}0558, ou aproximadamente 14{,}3\% relativo, pois \dfrac{1{,}0558}{7{,}3891}\approx 0{,}1429). A razão é que para x=2 os termos de ordem superior (como x^{4}/4!=16/24\approx 0{,}6667, x^{5}/5!=32/120\approx 0{,}2667, etc.) ainda contribuem bastante; truncar só até x^{3} não captura essas contribuições. A forma do resto em Lagrange fornece uma expressão teórica
com \xi\in(0,2). Isso implica R_{3}(2) está entre \dfrac{2}{3}e^{0}=\tfrac{2}{3} e \dfrac{2}{3}e^{2}\approx 4{,}9261; o erro real 1{,}0558 está dentro desse intervalo. Em termos práticos: para obter uma aproximação melhor de e^{2} com a série de Taylor centrada em 0 convém incluir mais termos (ordens maiores) até que os termos negligenciados sejam pequenos comparados à precisão desejada.
(b) Aproximação: \displaystyle \frac{19}{3}\approx 6{,}333333333. Valor real: \displaystyle e^{2}\approx 7{,}3891. A aproximação subestima o valor real.