Considerando que 2 mols de O 2 se comportem idealmente, sob condições de T1 =27^{\circ} \mathrm{C} / \mathrm{V} 1=2 \mathrm{dm} 3 e T2 =227^{\circ} \mathrm{C} / \mathrm{V} 2=8 \mathrm{dm} 3. Calcule a \Delta \mathrm{S} envolvida neste processo reversível. Dado do problema: \mathrm{Cp}=25,723+12,97910^{-3} \mathrm{~T}-38,61810^{-7} \mathrm{T}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede a variação de entropia \Delta S para 2 mols de \mathrm{O_2} que se comportam como gás ideal, passando do estado inicial com temperatura T_1=27^\circ\mathrm{C} e volume V_1=2\\ \mathrm{dm}^3 para o estado final com T_2=227^\circ\mathrm{C} e V_2=8\\ \mathrm{dm}^3. O enunciado também fornece a capacidade calorífica molar dependente da temperatura:
C_p(T)=25,723+12,979\cdot 10^{-3}\,T-38,618\cdot 10^{-7}\,T^{2}.
Lista de dados (extraídos do enunciado):
n=2\\ \text{mol},\qquad T_1=27^\circ\mathrm{C},\qquad V_1=2\\ \mathrm{dm}^3,
T_2=227^\circ\mathrm{C},\qquad V_2=8\\ \mathrm{dm}^3,
C_p(T)=25,723+12,979\times10^{-3}\,T-38,618\times10^{-7}\,T^{2}.
O que se pede: calcular \Delta S do processo reversível entre esses dois estados.

Passo 2

Escolha do método e justificativa (explicação didática): para um gás ideal a entropia é função de estado; podemos escolher um caminho reversível conveniente para calcular \Delta S. Um caminho prático é: aquecer reversivelmente de T_1 a T_2 mantendo a pressão (ou imaginariamente) e depois ajustar a pressão/volume isotermicamente reversivelmente; ao integrar convenientemente obtemos a fórmula padrão
\Delta S = n\int_{T_1}^{T_2}\frac{C_p(T)}{T}\,dT - nR\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right).
Explicação das variáveis:
  • n = número de mols;
  • C_p(T) = capacidade calorífica molar a pressão constante (dependente de T);
  • R = constante universal dos gases ( R=8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}});
  • P_1,P_2 = pressões nos estados 1 e 2;
  • T_1,T_2 em kelvin.
    Observação: essa expressão resulta de somar a contribuição de aquecimento reversível (integral de C_p/T) e a contribuição reversível de compressão/expansão (termo com \ln P). Como P não foi dada diretamente, usaremos a equação de estado do gás ideal para obter a razão P_2/P_1.

Passo 3

Converta temperaturas para kelvin e confirme unidades:
T_1=27^\circ\mathrm{C}=27+273=300\\ \mathrm{K}, \qquad T_2=227^\circ\mathrm{C}=227+273=500\\ \mathrm{K}.
As unidades de volume podem ficar em \mathrm{dm}^3 porque só aparecerá razão V_2/V_1 ou relação de pressões (as unidades cancelam). Temos
V_1=2\\ \mathrm{dm}^3,\qquad V_2=8\\ \mathrm{dm}^3.

Passo 4

Interpretação e simplificação do C_p(T): escrever os coeficientes em forma decimal
C_p(T)=a+bT+cT^{2},
onde
a=25,723,\quad b=12,979\times10^{-3}=0,012979,\quad c=-38,618\times10^{-7}=-3{,}8618\times10^{-6}.
Unidade de C_p é \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}. Para integrar \dfrac{C_p(T)}{T} observamos que
\frac{C_p(T)}{T}=\frac{a}{T}+b+cT.
Logo a integral analítica é simples:
\int_{T_1}^{T_2}\frac{C_p(T)}{T}\,dT = a\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)+b\,(T_2-T_1)+\frac{c}{2}\,(T_2^2-T_1^2).

Passo 5

Calcule a integral por mol usando os coeficientes e os T em kelvin:
Primeiro calcule cada termo separadamente.
  1. Termo logarítmico:
a\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) =25{,}723\cdot\ln\!\left(\frac{500}{300}\right) =25{,}723\cdot\ln\!\left(\frac{5}{3}\right).
Compute \ln(5/3)\approx 0{,}5108256, então
25{,}723\cdot 0{,}5108256 \approx 13{,}1396.
  1. Termo linear em T:
b\,(T_2-T_1)=0{,}012979\cdot(500-300)=0{,}012979\cdot 200=2{,}5958.
  1. Termo quadrático:
\frac{c}{2}(T_2^2-T_1^2)=c\cdot\frac{500^2-300^2}{2}=c\cdot 80{,}000.
Como c=-3{,}8618\times10^{-6},
c\cdot 80{,}000=-3{,}8618\times10^{-6}\times 80{,}000\approx -0{,}308944.
Somando os três termos obtemos a integral por mol:
\int_{T_1}^{T_2}\frac{C_p(T)}{T}\,dT \approx 13{,}1396+2{,}5958-0{,}308944=15{,}426456\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.

Passo 6

Multiplique pela quantidade de mols n=2 para obter a contribuição total do termo integral:
n\int_{T_1}^{T_2}\frac{C_p(T)}{T}\,dT =2\times 15{,}426456\approx 30{,}852912\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.

Passo 7

Calcule o termo envolvendo as pressões usando a equação de estado do gás ideal. Primeiro obtenha a razão \dfrac{P_2}{P_1} usando
P=\frac{nRT}{V}\quad\Rightarrow\quad \frac{P_2}{P_1}=\frac{T_2}{T_1}\cdot\frac{V_1}{V_2}.
Com nossos números:
\frac{P_2}{P_1}=\frac{500}{300}\cdot\frac{2}{8}=\frac{500\cdot2}{300\cdot8}=\frac{1000}{2400}=0{,}4166667.
Agora o logaritmo:
\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right)\approx \ln(0{,}4166667)\approx -0{,}8754687.
Multiplicando por -nR:
-\,nR\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right) = -2\times 8{,}314\times(-0{,}8754687) \approx 2\times 8{,}314\times 0{,}8754687 \approx 14{,}55622\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.

Passo 8

Some as duas contribuições para obter \Delta S:
\Delta S = n\int_{T_1}^{T_2}\frac{C_p(T)}{T}\,dT - nR\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right).
Numericamente:
\Delta S \approx 30{,}852912 + 14{,}55622 = 45{,}409132\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
Arredondando razoavelmente (duas casas significativas compatíveis com dados): \Delta S\approx 45{,}41\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
Observação física: \Delta S>0 faz sentido porque tanto o aumento de temperatura quanto a expansão de volume contribuem para aumentar a desordem.

Resposta

\Delta S \approx 45{,}41\\ \mathrm{J\,K^{-1}}

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