(1,5) Considerando nabla=u ell+v jmath+w k, nabla=partialpartial x imath+partialpartial y jmath+partialpartial z k, e V^2=V cdot nabla, prove a seguinte identidade vetorial:
v cdot nabla^2 v=nabla^2(V^2 / 2)-nabla v cdot nabla v

Passo 1

Beleza, o que a questão pede é provar a identidade vetorial
vec vcdotnabla^2vec v ;=;nabla^2l(tfracvec v^22r);-;nablavec v:nablavec v
onde
  • nabla^2vec v é o laplaciano componente a componente,
  • vec v^2=vec vcdotvec v,
  • e nablavec v:nablavec v significa sumi,j(partiali vj)(partiali vj).
Conteúdo: cálculo vetorial (gradiente, laplaciano, regra do produto) e notação de índices (ou soma de Einstein).
O que vamos precisar:
  1. Entender como operar nabla^2 num escalar e num vetor.
  2. Aplicar a regra do produto de derivadas parciais.
  3. Identificar os termos que aparecem.

Passo 2

Primeiro, trate a parte escalar f=tfrac12,vec v^2=tfrac12,vk vk.
Em notação de índices (soma de Einstein automática em índices repetidos),
nabla^2 f ;=;partialipartialil(tfrac12,vk vkr),
Use a regra do produto: para qualquer produto a,b, partiali(a,b)= (partiali a),b + a,(partiali b).
Então:
  1. partialil(tfrac12,vk vkr)=vk,partiali vk.
  2. Agora outra derivada:
partialipartialil(tfrac12,vk vkr) =partialil(vk,partiali vkr) =(partiali vk)(partiali vk);+;vk,partialipartiali vk

Passo 3

Repare que:
  • (partiali vk)(partiali vk)=nablavec v:nablavec v.
  • vk,partialipartiali vk = vec vcdot(nabla^2vec v).
Então a conta virou
nabla^2l(tfrac12,vec v^2r) =nablavec v:nablavec v ;+;vec vcdotnabla^2vec v

Passo 4

Basta isolar vec vcdotnabla^2vec v no lado direito:
vec vcdotnabla^2vec v =nabla^2l(tfracvec v^22r) -nablavec v:nablavec v

Resposta

boxedvec vcdotnabla^2vec v ;=;nabla^2l(tfracvec v^22r);-;nablavec vcdotnablavec v,

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