(1,5) Considerando
, e
, prove a seguinte identidade vetorial:
Passo 1
Beleza, o que a questão pede é provar a identidade vetorial
onde
-
é o laplaciano componente a componente, -
, - e
significa .
Conteúdo: cálculo vetorial (gradiente, laplaciano, regra do produto) e notação de índices (ou soma de Einstein).
O que vamos precisar:
- Entender como operar
num escalar e num vetor. - Aplicar a regra do produto de derivadas parciais.
- Identificar os termos que aparecem.
Passo 2
Primeiro, trate a parte escalar
.
Em notação de índices (soma de Einstein automática em índices repetidos),
Em notação de índices (soma de Einstein automática em índices repetidos),
Use a regra do produto: para qualquer produto
,
.
Então:
-
. - Agora outra derivada:
Passo 3
Repare que:
-
. -
.
Então a conta virou
Passo 4
Basta isolar
no lado direito: