( 2 , 0 ) Partindo da equaçāo obtida pelo segundo método (volume de controle):
a) obtenha a equação da conservação do momento para um volume material (superficie de controle), i.e., a equaçăo de Navier-Stokes;
b) denomine cada termo explicando seu significado físico;
c) reescreva a equação de Navier-Stokes para cada uma das componentes x, y e z. Considere Omega=Omega cos theta j+Omega sen theta k.

Passo 1

Beleza, o exercício quer que a gente:
  1. Partindo da equação de conservação de momento no volume de controle (método 2), derive a equação de Navier–Stokes para um volume material (isto é, a superfície de controle se move junto com o fluido).
  2. Dê nome e explique fisicamente cada termo que aparecer.
  3. Finalmente, reescreva essa equação para as componentes x, y e z, usando
vecOmega ;=;Omegacostheta,hat jmath ;+;Omegasintheta,hat k,
Conteúdo: Mecânica dos Fluidos – conservação de momento, derivada material, teorema da divergência, tensões em fluido newtoniano, forças inerciais num referencial rotativo.
O que vamos usar:
  • Equação integral de momento num CV giratório.
  • Condição de volume material ( vec vrm superfície=vec ví).
  • Derivada material DDt=partialpartial t+vec vcdotnabla.
  • Teorema de Gauss para passar de superfície a volume.
  • Modelo de fluido newtoniano: T=-p I+mu(nablavec v+(nablavec v)^T).
  • Produtos vetoriais para achar Coriolis e centrífuga.

Passo 2

Derivando a equação vetorial (parte a):
  1. A forma geral (em CV giratório) é
ddt!integralCVrho,vec v,dV ;+;ointCSrho,vec vl(vec vrm rel!cdot!hat nr),dA =integralCVrho,vec g,dV+ointCST!cdot!hat n,dA
onde vec vrm rel=vec v-vec vCS.
  1. Volume material significa que a superfície se move junto com o fluido, logo vec vCS=vec v e o termo de fluxo pelo CS some.
  2. A taxa de variação do integral vira integral da derivada material:
ddtintegralV(t)rho,vec v,dV =integralV(t)rho,Dvec vDt,dV
  1. Aplicando o teorema de Gauss em ointCSTcdothat n,dA=integralV(t)nabla!cdot!T,dV.
  2. Em referencial giratório surgem pseudo-forças de Coriolis e centrífuga tratadas como forças de volume:
-2rho,vecOmegatimesvec v e -rho,vecOmegatimes(vecOmegatimesvec r)
  1. Como o volume V(t) é arbitrário, igualamos integrandos e obtemos a forma local:
rho,Dvec vDt =rho,vec g -2,rho,vecOmegatimesvec v -rho,vecOmegatimesl(vecOmegatimesvec rr) ;+;nabla!cdot!T
  1. Substituindo o fluido newtoniano
    T=-p, I+mu(nablavec v+(nablavec v)^T)
    e, para incompressível, nablacdotvec v=0, vem
nabla!cdot!T =-nabla p+mu,nabla^2vec v
Logo a equação de Navier–Stokes em forma vetorial (referencial giratório) fica:
rho,Dvec vDt =;-nabla p ;+;mu,nabla^2vec v ;+;rho,vec g ;-;2,rho,vecOmegatimesvec v ;-;rho,vecOmegatimes(vecOmegatimesvec r)

Passo 3

Denominação e significado físico de cada termo (parte b):
  1. rho,Dvec vDt: termo inercial – aceleração total do fluido (local + convectiva).
  2. -nabla p: força de gradiente de pressão por unidade de volume.
  3. mu,nabla^2vec v: força viscosa (difusão de momento).
  4. rho,vec g: força de gravidade.
  5. -2,rho,vecOmegatimesvec v: força de Coriolis (efeito de rotação).
  6. -rho,vecOmegatimes(vecOmegatimesvec r): força centrífuga (também chamada de centrípeta negativa).

Passo 4

Componentes x,y,z (parte c). Chamando vec v=(u,v,w) e
vecOmega=(0,Omegacostheta,Omegasintheta), calculamos
vecOmegatimesvec v =l(Omega(costheta,w-sintheta,v),;Omegasintheta,u,;-Omegacostheta,ur),
vecOmegatimes(vecOmegatimesvec r) =l(2Omega^2sinthetacostheta,x,; Omega^2sinthetacostheta,z-Omega^2sin^2theta,y,; -Omega^2cos^2theta,z+Omega^2sinthetacostheta,y r)
Substituindo em cada componente de
rhol(partialt+vec v!cdot!nablar)vec v =-nabla p+munabla^2vec v+rhovec g-2rho,vecOmegatimesvec v-rho,vecOmegatimes(vecOmegatimesvec r),
chegamos a:
Em x:
rhol(partial upartial t+u,ux+v,uy+w,uzr) &=-px+mu,(uxx+uyy+uzz)+rho,gx &-2rho,Omegal(costheta,w-sintheta,vr) -2,rho,Omega^2sinthetacostheta,x
Em y:
rhol(partial vpartial t+u,vx+v,vy+w,vzr) &=-py+mu,(vxx+vyy+vzz)+rho,gy &-2rho,Omega,sintheta,u +rho,Omega^2sin^2theta,y -rho,Omega^2sinthetacostheta,z
Em z:
rhol(partial wpartial t+u,wx+v,wy+w,wzr) &=-pz+mu,(wxx+wyy+wzz)+rho,gz &+2rho,Omega,costheta,u +rho,Omega^2cos^2theta,z -rho,Omega^2sinthetacostheta,y

Resposta

a) Equação de Navier–Stokes (volume material / referencial giratório):
boxed rho,Dvec vDt =-nabla p +mu,nabla^2vec v +rho,vec g -2,rho,vecOmegatimesvec v -rho,vecOmegatimes(vecOmegatimesvec r)
b) Termos físicos:
  • rho,Dvec v/Dt: aceleração total do fluido (inércia).
  • -nabla p: força de pressão.
  • munabla^2vec v: forças viscosas.
  • rho,vec g: gravidade.
  • -2rho,vecOmegatimesvec v: força de Coriolis.
  • -rho,vecOmegatimes(vecOmegatimesvec r): força centrífuga.
c) Componentes em x,y,z:
rhol(ut+u,ux+v,uy+w,uzr) =-px+mu,nabla^2u+rho,gx -2rhoOmega(costheta,w-sintheta,v) -2rhoOmega^2sinthetacostheta,x,[6pt] rhol(vt+u,vx+v,vy+w,vzr) =-py+mu,nabla^2v+rho,gy -2rhoOmegasintheta,u +rhoOmega^2sin^2theta,y -rhoOmega^2sinthetacostheta,z,[6pt] rhol(wt+u,wx+v,wy+w,wzr) =-pz+mu,nabla^2w+rho,gz +2rhoOmegacostheta,u +rhoOmega^2cos^2theta,z -rhoOmega^2sinthetacostheta,y
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