Partindo da equaçāo obtida pelo segundo método (volume de controle):
a) obtenha a equação da conservação do momento para um volume material (superficie de controle), i.e., a equaçăo de Navier-Stokes;
b) denomine cada termo explicando seu significado físico;
c) reescreva a equação de Navier-Stokes para cada uma das componentes
e
. Considere
.
a) obtenha a equação da conservação do momento para um volume material (superficie de controle), i.e., a equaçăo de Navier-Stokes;
b) denomine cada termo explicando seu significado físico;
c) reescreva a equação de Navier-Stokes para cada uma das componentes
Passo 1
Beleza, o exercício quer que a gente:
- Partindo da equação de conservação de momento no volume de controle (método 2), derive a equação de Navier–Stokes para um volume material (isto é, a superfície de controle se move junto com o fluido).
- Dê nome e explique fisicamente cada termo que aparecer.
- Finalmente, reescreva essa equação para as componentes
, e , usando
Conteúdo: Mecânica dos Fluidos – conservação de momento, derivada material, teorema da divergência, tensões em fluido newtoniano, forças inerciais num referencial rotativo.
O que vamos usar:
- Equação integral de momento num CV giratório.
- Condição de volume material (
). - Derivada material
. - Teorema de Gauss para passar de superfície a volume.
- Modelo de fluido newtoniano:
. - Produtos vetoriais para achar Coriolis e centrífuga.
Passo 2
Derivando a equação vetorial (parte a):
- A forma geral (em CV giratório) é
onde
.
- Volume material significa que a superfície se move junto com o fluido, logo
e o termo de fluxo pelo CS some. - A taxa de variação do integral vira integral da derivada material:
- Aplicando o teorema de Gauss em
. - Em referencial giratório surgem pseudo-forças de Coriolis e centrífuga tratadas como forças de volume:
- Como o volume
é arbitrário, igualamos integrandos e obtemos a forma local:
- Substituindo o fluido newtoniano
e, para incompressível,, vem
Logo a equação de Navier–Stokes em forma vetorial (referencial giratório) fica:
Passo 3
Denominação e significado físico de cada termo (parte b):
-
: termo inercial – aceleração total do fluido (local + convectiva). -
: força de gradiente de pressão por unidade de volume. -
: força viscosa (difusão de momento). -
: força de gravidade. -
: força de Coriolis (efeito de rotação). -
: força centrífuga (também chamada de centrípeta negativa).
Passo 4
Componentes
(parte c). Chamando
e
, calculamos
Substituindo em cada componente de
,
chegamos a:
chegamos a:
Em
:
Em
:
Em
:
Resposta
a) Equação de Navier–Stokes (volume material / referencial giratório):
b) Termos físicos:
-
: aceleração total do fluido (inércia). -
: força de pressão. -
: forças viscosas. -
: gravidade. -
: força de Coriolis. -
: força centrífuga.
c) Componentes em
:
]