Dada a densidade de corrente J=-10^4[sen(2 x) e^-2 y ax+cos (2 x) e^-2 y ay] kA / m^2: (a) Calcule a corrente total que atravessa o plano y=1 na direção ay na região 0. (b) Calcule a corrente total que deixa a região 0 pela integração de J cdot d S sobre a superfície do cubo. © Repita a etapa (b), mas utilizando o teorema da divergência.

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício que você enviou está relacionado com Densidade de Corrente e envolve conceitos de Cálculo Vetorial, como integrais de superfície e o Teorema da Divergência. Para resolver essa questão, vamos precisar entender como calcular a corrente total que atravessa uma determinada superfície e como aplicar o Teorema da Divergência para facilitar esses cálculos.

Passo 2

Parte (a): Queremos calcular a corrente total que atravessa o plano $ y = 1 $ na direção de $ \mathbf{a}_{y} $ na região $ 0 < x < 1 $ e $ 0 < z < 2 $.
Primeiro, sabemos que a corrente total $ I $ que atravessa uma superfície é dada pela integral da densidade de corrente $ \mathbf{J} $ pelo vetor área $ d\mathbf{S} $:
y = 1
Neste caso, a superfície é o plano $ y = 1 $ e a direção da corrente é $ \mathbf{a}{y} $. O vetor área $ d\mathbf{S} $ para essa superfície será na direção de $ \mathbf{a}{y} $, com magnitude $ dx , dz $:
ay
A densidade de corrente dada é:
0 < x < 1
Como estamos interessados na direção $ \mathbf{a}{y} $, vamos considerar somente a componente $ \mathbf{a}{y} $ da densidade de corrente:
0 < z < 2
Agora, substituímos $ y = 1 $ e integramos sobre $ x $ de 0 a 1 e $ z $ de 0 a 2:
I

Passo 3

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, simplificamos a expressão dentro da integral:
I = -10^4 e^-2 integral0^2 integral0^1 cos(2x) dx , dz
Integramos $ \cos(2x) $ em relação a $ x $:
cos(2x)
Aplicando os limites de 0 a 1:
x
Agora, a integral fica:
integral cos(2x) dx = sin(2x)2
A integral em $ z $ de 0 a 2 é simplesmente:
[ sin(2x)2 ]0^1 = sin(2)2 - sin(0)2 = sin(2)2
Portanto, multiplicamos tudo:
I = -10^4 e^-2 cdot sin(2)2 integral0^2 dz

Resposta

A corrente total que atravessa o plano $ y = 1 $ na direção de $ \mathbf{a}_{y} $ na região especificada é:
y = 1

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