Dada a densidade de corrente
: (a) Calcule a corrente total que atravessa o plano
na direção
na região
. (b) Calcule a corrente total que deixa a região
pela integração de
sobre a superfície do cubo. © Repita a etapa (b), mas utilizando o teorema da divergência.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício que você enviou está relacionado com Densidade de Corrente e envolve conceitos de Cálculo Vetorial, como integrais de superfície e o Teorema da Divergência. Para resolver essa questão, vamos precisar entender como calcular a corrente total que atravessa uma determinada superfície e como aplicar o Teorema da Divergência para facilitar esses cálculos.
Passo 2
Parte (a): Queremos calcular a corrente total que atravessa o plano $ y = 1 $ na direção de $ \mathbf{a}_{y} $ na região $ 0 < x < 1 $ e $ 0 < z < 2 $.
Primeiro, sabemos que a corrente total $ I $ que atravessa uma superfície é dada pela integral da densidade de corrente $ \mathbf{J} $ pelo vetor área $ d\mathbf{S} $:
Neste caso, a superfície é o plano $ y = 1 $ e a direção da corrente é $ \mathbf{a}{y} $. O vetor área $ d\mathbf{S} $ para essa superfície será na direção de $ \mathbf{a}{y} $, com magnitude $ dx , dz $:
A densidade de corrente dada é:
Como estamos interessados na direção $ \mathbf{a}{y} $, vamos considerar somente a componente $ \mathbf{a}{y} $ da densidade de corrente:
Agora, substituímos $ y = 1 $ e integramos sobre $ x $ de 0 a 1 e $ z $ de 0 a 2:
Passo 3
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, simplificamos a expressão dentro da integral:
Integramos $ \cos(2x) $ em relação a $ x $:
Aplicando os limites de 0 a 1:
Agora, a integral fica:
A integral em $ z $ de 0 a 2 é simplesmente:
Portanto, multiplicamos tudo:
Resposta
A corrente total que atravessa o plano $ y = 1 $ na direção de $ \mathbf{a}_{y} $ na região especificada é: