Considerando que o número de Nusselt local para o escoamento sobre uma placaplana vertical aquecida é dado por Nu=f(Pr) Ra y 1 / 4 onde f é uma função conhecida de Prandtl (Pr), calcule a taxa de transferência de calor entre a placa e o fluido,sabendo que a placa tem altura H e largura W e que o escoamento permanece laminar para y <= H. Indique a temperatura e a taxa de transferência de calor onde as propriedades do fluido (incluindo Pr ) devem ser avaliadas.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. A questão fala sobre a transferência de calor entre uma placa plana vertical aquecida e um fluido que está escoando sobre ela de forma laminar. A gente tem uma fórmula para o número de Nusselt local, que é Nu = f(Pr) Ra^1 / 4, onde f é uma função conhecida do número de Prandtl ( Pr) e Ra é o número de Rayleigh.
Nosso objetivo é calcular a taxa de transferência de calor entre a placa e o fluido, sabendo que a placa tem uma altura H e uma largura W, e que o escoamento é laminar para y <= H. Também precisamos indicar a temperatura e a taxa de transferência de calor onde as propriedades do fluido (incluindo Pr) devem ser avaliadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o número de Nusselt ( Nu). Ele é uma medida que relaciona a transferência de calor por convecção com a transferência de calor por condução. Basicamente, ele nos diz quanto a convecção está facilitando a transferência de calor em comparação com a condução pura.
A fórmula dada é Nu = f(Pr) Ra^1 / 4. Aqui, Pr é o número de Prandtl, que relaciona a difusividade de momento com a difusividade térmica, e Ra é o número de Rayleigh, que é um indicador da força dos movimentos convectivos no fluido.

Passo 3

Para calcular a taxa de transferência de calor ( Q), precisamos usar a relação entre o número de Nusselt e os outros parâmetros térmicos e geométricos do sistema. A fórmula geral para Q em convecção forçada é:
Q = h A De
Onde:
  • h é o coeficiente de transferência de calor por convecção,
  • A é a área de transferência de calor,
  • De é a diferença de temperatura entre a placa e o fluido.

Passo 4

Sabemos que o número de Nusselt está relacionado ao coeficiente h pela seguinte relação:
Nu = h Lk
Onde:
  • L é uma dimensão característica (no nosso caso, a altura H da placa),
  • k é a condutividade térmica do fluido.
Rearranjando para encontrar h:
h = Nu cdot kL

Passo 5

Substituindo h na fórmula de Q:
Q = ( Nu cdot kH ) A De
A área A da placa é H times W, então:
A = H cdot W
Então, a equação fica:
Q = ( Nu cdot kH ) (H cdot W) De

Passo 6

Agora, vamos substituir Nu pela expressão fornecida:
Nu = f(Pr) Ra^1 / 4
Então:
Q = f(Pr) Ra^1 / 4 cdot k cdot W cdot De

Passo 7

Precisamos agora expressar o número de Rayleigh ( Ra). Ele é definido por:
Ra = g beta De
Onde:
  • g é a aceleração da gravidade,
  • beta é o coeficiente de expansão térmica do fluido,
  • De é a diferença de temperatura,
  • H é a altura da placa,
  • nu é a viscosidade cinemática,
  • alpha é a difusividade térmica.

Passo 8

Substituindo Ra na fórmula de Q:
Q = f(Pr) ( g beta De

Passo 9

Agora, agrupamos os termos para simplificar a expressão final:
Q = f(Pr) cdot g^1/4 cdot beta^1/4 cdot De

Passo 10

Finalmente, identificamos que as propriedades do fluido ( Pr, beta, nu, alpha, k) devem ser avaliadas na temperatura da placa Tp e na temperatura do fluido Tf, onde De.

Resposta

A taxa de transferência de calor entre a placa e o fluido é dada por:
Q = f(Pr) cdot g^1/4 cdot beta^1/4 cdot De
As propriedades do fluido, incluindo o número de Prandtl ( Pr), devem ser avaliadas nas temperaturas da placa Tp e do fluido Tf.

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