Considerando (R^4,+, cdot) com as operações de soma de vetores e produto por escalares reais as usuais. Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais.
W=(x, y, z, w) in R^4: x=1

Passo 1

O enunciado apresenta o espaço vetorial R^4 com operações usuais e o subconjunto
W = (x,y,z,w)inR^4 : x = 1
Para verificar se W é subespaço vetorial, precisamos checar três condições:
  1. W não é vazio e contém o vetor zero.
  2. W é fechado sob soma de vetores.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Testando a presença do vetor zero: o vetor zero em R^4 é (0,0,0,0). Para pertencer a W a primeira coordenada deveria ser 1, mas ela é 0. Logo
(0,0,0,0)notin W
e a condição de conter o vetor zero falha.

Passo 3

Mesmo já tendo falhado o primeiro critério, examinamos o fechamento sob soma. Se (1,y1,z1,w1)in W e (1,y2,z2,w2)in W, então
(1,y1,z1,w1) + (1,y2,z2,w2) = (2,,y1+y2,,z1+z2,,w1+w2),
cuja primeira coordenada é 2neq1, de modo que o resultado não está em W. Portanto não é fechado sob soma.

Passo 4

Para fechamento sob escalar, tome lambdainR e (1,y,z,w)in W. Então
lambdacdot(1,y,z,w) = (lambda,,lambda y,,lambda z,,lambda w),
cuja primeira coordenada é lambda, que só vale 1 quando lambda=1. Para lambdaneq1, o vetor resultante não pertence a W. Logo não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

W não é subespaço vetorial de R^4.

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