Considerando
com as operações de soma de vetores e produto por escalares reais as usuais. Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais.
Passo 1
O enunciado apresenta o espaço vetorial
com operações usuais e o subconjunto
Para verificar se
é subespaço vetorial, precisamos checar três condições:
-
não é vazio e contém o vetor zero. -
é fechado sob soma de vetores. -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Testando a presença do vetor zero: o vetor zero em
é
. Para pertencer a
a primeira coordenada deveria ser
, mas ela é
. Logo
e a condição de conter o vetor zero falha.
Passo 3
Mesmo já tendo falhado o primeiro critério, examinamos o fechamento sob soma. Se
e
, então
cuja primeira coordenada é
, de modo que o resultado não está em
. Portanto não é fechado sob soma.
Passo 4
Para fechamento sob escalar, tome
e
. Então
cuja primeira coordenada é
, que só vale
quando
. Para
, o vetor resultante não pertence a
. Logo não é fechado sob multiplicação por escalar.