Consideremos, no R^2, o produto interno definido por v1 cdot v2=3 x1 x2+y1 y2, sendo v1=(x1, y1) e v2=(x2, y2). Em relação a esse produto interno, determinar um vetor v tal que:
|v|=4, v cdot u=10 e u=(1,-2)

Passo 1

O enunciado define um produto interno em R^2 por
vec v1 cdot vec v2 = 3,x1x2 + y1y2
e pede um vetor vec v=(x,y) tal que lvert vec vrvert=4 e vec vcdotvec u=10 com vec u=(1,-2). Para resolver, vamos traduzir essas condições em equações em x e y.

Passo 2

A norma de vec v associada a esse produto interno é
lvert vec vrvert^2 = vec vcdotvec v = 3x^2 + y^2,
então lvert vec vrvert=4 vira
3x^2 + y^2 = 16

Passo 3

A condição vec vcdotvec u=10 com vec u=(1,-2) é
3(x)(1) + (y)(-2) = 10,
ou seja
3x - 2y = 10

Passo 4

Da equação linear 3x - 2y = 10 isolamos y:
2y = 3x - 10 Longrightarrow y = 3x - 102

Passo 5

Substituindo y em 3x^2 + y^2 = 16 temos
3x^2 + l(3x - 102r)^2 = 16
Multiplicando por 4 e reorganizando dá
21x^2 - 60x + 36 = 0 Longrightarrow 7x^2 - 20x + 12 = 0

Passo 6

Resolvendo a quadrática 7x^2 - 20x + 12 = 0 com De<a = (-20)^2 - 4cdot7cdot12 =64, obtemos
x = 20 pm 814 Longrightarrow x = 2 ou x = 67

Passo 7

Para cada valor de x calculamos y = (3x-10)/2:
  • Se x=2, então y = 3cdot2 - 102 = -42 = -2
  • Se x=tfrac67, então y = 3cdot67 - 102 = 187 - 7072 = -52/72 = -267

Resposta

As soluções com as duas condições são
vec v = (2,,-2) ou vec v = l(tfrac67,,-tfrac267r)

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