Considere o espaço vetorial R^3 com a soma de vetores e o produto por escalares usuais. Verifique se os seguintes vetores são L.D. e L.I.
(1,3,2),(4,7,5),(1,2,1)

Passo 1

O problema está em R^3 e pede para verificar se o conjunto
(1,3,2),,(4,7,5),,(1,2,1)
é linearmente dependente (L.D.) ou independente (L.I.).
Para isso vamos usar a definição: são L.I. se a única solução de
a(1,3,2)+b(4,7,5)+c(1,2,1)=(0,0,0)
é a=b=c=0.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear igual a zero obtemos o sistema
a + 4b + c = 0, 3a + 7b + 2c = 0, 2a + 5b + c = 0

Passo 3

Da primeira equação isolamos
c = -,a - 4b
Substituindo em 3a+7b+2c=0
3a + 7b + 2(-a -4b)=0 Longrightarrow 3a+7b-2a-8b=0 Longrightarrow a - b = 0 Longrightarrow a=b

Passo 4

Agora usamos a=b e c=-a-4b na terceira equação 2a+5b+c=0:
2a + 5b +(-a -4b)=0 Longrightarrow 2a+5a-5a=0 Longrightarrow a+b=0
Mas como a=b, isso vira 2a=0, logo a=0. Daí b=0 e c=-a-4b=0.

Passo 5

Como a única solução é a=b=c=0, o conjunto é linearmente independente.
(Alternativamente, poderia-se montar a matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante, obtendo det=2neq0, confirmando a independência.)

Resposta

O conjunto (1,3,2),(4,7,5),(1,2,1) é linearmente independente (L.I.) e, portanto, não é linearmente dependente.

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