Considere o espaço vetorial com a soma de vetores e o produto por escalares usuais. Verifique se os seguintes vetores são L.D. e L.I.
Passo 1
O problema está em e pede para verificar se o conjunto
é linearmente dependente (L.D.) ou independente (L.I.).
Para isso vamos usar a definição: são L.I. se a única solução de
é .
Passo 2
Escrevendo a combinação linear igual a zero obtemos o sistema
Passo 3
Da primeira equação isolamos
c = -,a - 4b
Substituindo em 3a+7b+2c=0 dá
3a + 7b + 2(-a -4b)=0 Longrightarrow 3a+7b-2a-8b=0 Longrightarrow a - b = 0 Longrightarrow a=b
Passo 4
Agora usamos a=b e c=-a-4b na terceira equação 2a+5b+c=0:
Mas como a=b, isso vira 2a=0, logo a=0. Daí b=0 e c=-a-4b=0.
Passo 5
Como a única solução é a=b=c=0, o conjunto é linearmente independente.
(Alternativamente, poderia-se montar a matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante, obtendo det=2neq0, confirmando a independência.)
Resposta
O conjunto (1,3,2),(4,7,5),(1,2,1) é linearmente independente (L.I.) e, portanto, não é linearmente dependente.