Considere o espaço vetorial M(2) e verifique se o conjunto
B=[ll 1 & 0 0 & 0 ],[ll 1 & 0 0 & 1 ],[ll 1 & 1 0 & 1 ],[cc 1 & 1 -1 & 1 ]
forma uma base para M(2).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
B=lB1,B2,B3,B4r
com
B1 = 1 & 0 0 & 0,; B2 = 1 & 0 0 & 1,; B3 = 1 & 1 0 & 1,; B4 = 1 & 1 -1 & 1
é uma base de M(2), o espaço de todas as matrizes 2times2. Para isso usamos a definição de base: um conjunto deve ser linearmente independente e gerar (span) todo o espaço. Como dim M(2)=4, basta mostrar que os quatro vetores são linearmente independentes.

Passo 2

Considere a combinação linear nula
a,B1 + b,B2 + c,B3 + d,B4 ;=; 0 & 0 [6pt] 0 & 0,
e vamos ver se isso força a=b=c=d=0.]

Passo 3

Somando as matrizes coordenada a coordenada, obtemos
a,1&00&0 +b,1&00&1 +c,1&10&1 +d,1&1-1&1 = a+b+c+d & c+d [4pt] -,d & b+c+d = 0&00&0 ]

Passo 4

Igualando cada entrada a zero, obtemos o sistema
a + b + c + d = 0, c + d = 0, -,d = 0, b + c + d = 0
Da terceira equação vem d=0. Substituindo em c+d=0 c=0. Então b+c+d=0 implica b=0 e finalmente a+b+c+d=0 a=0.

Passo 5

Como a única solução é a=b=c=d=0, os vetores são linearmente independentes. Tendo quatro vetores em um espaço de dimensão quatro, concluímos que B também gera M(2). Portanto B é base de M(2).

Resposta

O conjunto B forma base de M(2).

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