é uma base de M(2), o espaço de todas as matrizes 2times2. Para isso usamos a definição de base: um conjunto deve ser linearmente independente e gerar (span) todo o espaço. Como dim M(2)=4, basta mostrar que os quatro vetores são linearmente independentes.
Passo 2
Considere a combinação linear nula
a,B1 + b,B2 + c,B3 + d,B4 ;=; 0 & 0 [6pt] 0 & 0,
e vamos ver se isso força a=b=c=d=0.]
Passo 3
Somando as matrizes coordenada a coordenada, obtemos
a + b + c + d = 0, c + d = 0, -,d = 0, b + c + d = 0
Da terceira equação vem d=0. Substituindo em c+d=0 dá c=0. Então b+c+d=0 implica b=0 e finalmente a+b+c+d=0 dá a=0.
Passo 5
Como a única solução é a=b=c=d=0, os vetores são linearmente independentes. Tendo quatro vetores em um espaço de dimensão quatro, concluímos que B também gera M(2). Portanto B é base de M(2).