Se:
l u=[ll a1 & b1 c1 & d1 ] v=[ll a2 & b2 c2 & d2 ]
são matrizes quaisquer de M(2,2), a seguinte fórmula define um produto interno nease espaço:
u cdot v=a1 a2+b1 b2+c1 c2+d1 d2
Dados os vetores:
u=[cc 1 & 2 -1 & 1 ]
e:
v=[ll 0 & 2 1 & 1 ]
determine |u+v| e o ângulo entre u e v.

Passo 1

O enunciado trata de matrizes em M(2,2) com o produto interno
ucdot v = a1a2 + b1b2 + c1c2 + d1d2
e define a norma como
|u| = raizucdot u
Temos
u = 1 & 2 -1 & 1, v = 0 & 2 1 & 1,
e queremos |u+v| e o ângulo theta entre u e v.

Passo 2

Somamos u e v termo a termo:
u+v = 1+0 & 2+2 -1+1 & 1+1 = 1 & 4 0 & 2

Passo 3

Para achar |u+v| usamos
|u+v| = raiz(u+v)cdot(u+v)
Calculando o produto interno:
(u+v)cdot(u+v) = 1^2 + 4^2 + 0^2 + 2^2 = 1 + 16 + 0 + 4 = 21
Logo
|u+v| = raiz21

Passo 4

Agora calculamos ucdot v, |u| e |v|:
ucdot v = 1cdot0 + 2cdot2 + (-1)cdot1 + 1cdot1 = 0 + 4 - 1 + 1 = 4
|u| = raiz1^2 + 2^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz1+4+1+1 = raiz7,
|v| = raiz0^2 + 2^2 + 1^2 + 1^2 = raiz0+4+1+1 = raiz6

Passo 5

O ângulo theta satisfaz
costheta = ucdot v|u|,|v| = 4raiz7,raiz6 = 4raiz42
Portanto
theta = arccos!l(tfrac4raiz42r) approx 0,9046 rad approx 51,8^circ

Resposta

|u+v| = raiz21
theta = arccos!l(tfrac4raiz42r)approx 51,8^circ

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