Considerando
com as operações de soma de vetores e produto por escalares reais as usuais. Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais.
e
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
com as operações usuais e o subconjunto
Para verificar que
é subespaço vetorial de
, usaremos o critério padrão:
-
contém o vetor zero. -
é fechado sob soma. -
é fechado sob multiplicação por escalares.
Passo 2
Verificamos que o vetor zero de
é
Como suas componentes
e
satisfazem as condições de definição de
, temos
.
Passo 3
Sejam
Então a soma é
Como ainda temos segunda e quarta componentes iguais a zero, segue que
. Logo,
é fechado sob soma.
Passo 4
Para fechar sob multiplicação por escalar, seja
e
. Então
que também satisfaz as condições
e
. Portanto
.
Passo 5
Como
contém o vetor zero e é fechado sob soma e produto por escalares, concluímos que
é subespaço vetorial de
.