Considerando (R^4,+, cdot) com as operações de soma de vetores e produto por escalares reais as usuais. Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais.
W=(x, y, z, w) in R^4: y=0 e w=0

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=(R^4,+,cdot) com as operações usuais e o subconjunto
W = (x,y,z,w)inR^4 : y=0 e w=0
Para verificar que W é subespaço vetorial de V, usaremos o critério padrão:
  1. W contém o vetor zero.
  2. W é fechado sob soma.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalares.

Passo 2

Verificamos que o vetor zero de R^4 é
(0,0,0,0)
Como suas componentes y=0 e w=0 satisfazem as condições de definição de W, temos (0,0,0,0)in W.

Passo 3

Sejam
u=(x1,0,z1,0)in W e v=(x2,0,z2,0)in W
Então a soma é
u+v = (x1+x2,;0+0,;z1+z2,;0+0) = (x1+x2,0,z1+z2,0)
Como ainda temos segunda e quarta componentes iguais a zero, segue que u+vin W. Logo, W é fechado sob soma.

Passo 4

Para fechar sob multiplicação por escalar, seja alphainR e u=(x,0,z,0)in W. Então
alpha,u = (alpha x,;alphacdot 0,;alpha z,;alphacdot 0) = (alpha x,0,alpha z,0),
que também satisfaz as condições y=0 e w=0. Portanto alpha,uin W.

Passo 5

Como W contém o vetor zero e é fechado sob soma e produto por escalares, concluímos que W é subespaço vetorial de R^4.

Resposta

W é subespaço vetorial de R^4.

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