Considere o espaço vetorial R^3 com a soma de vetores e o produto por escalares usuais. Verifique se os seguintes vetores são L.D. e L.I.
(1,1,0),(1,0,1),(0,-1,1)

Passo 1

Temos o conjunto de vetores em R^3
v1,v2,v3=(1,1,0),(1,0,1),(0,-1,1)
e queremos verificar se ele é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.). Lembrando que o conjunto é L.I. se a única solução da combinação linear
a,v1 + b,v2 + c,v3 = (0,0,0)
é a=b=c=0; caso contrário é L.D.

Passo 2

Escrevendo
a(1,1,0)+b(1,0,1)+c(0,-1,1)=(0,0,0)
obtemos o sistema
a + b = 0, a - c = 0, b + c = 0
Da segunda equação segue c=a. Da terceira vem b=-c=-a. Substituindo na primeira:
a + (-a)=0,
que é satisfeito para qualquer a.

Passo 3

Como existe solução não trivial, por exemplo
a=1,;b=-1,;c=1 Rightarrow (1,1,0)-(1,0,1)+(0,-1,1)=(0,0,0),
concluímos que os vetores são linearmente dependentes (L.D.).

Resposta

O conjunto (1,1,0),(1,0,1),(0,-1,1) é linearmente dependente e, portanto, não é linearmente independente.

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