Considere o espaço vetorial P2(R). Verifique se o polinômio p(x)=2 x^2-x+1 é combinação linear dos vetores r(x)=x^2-x+1 e s(x)=x-1

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial P2(R) e os polinômios
r(x)=x^2 - x +1, s(x)=x -1,
e pergunta se
p(x)=2x^2 - x +1
é combinação linear de r e s. Isso significa achar escalares a,b tais que
p(x)=a,r(x)+b,s(x)

Passo 2

Escrevemos a combinação genérica e expandimos:
a,r(x)+b,s(x) = a(x^2 - x +1)+b(x -1) = a,x^2 +(-a + b),x + (a - b)

Passo 3

Para que isso seja igual a p(x)=2x^2 - x +1, igualamos coeficientes de cada potência de x:
a = 2, -a + b = -1, a - b = 1

Passo 4

Resolvendo: da primeira equação a=2. Na segunda, substituindo a, temos -2 + b = -1 logo b=1. A terceira dá 2 - 1 = 1, consistente. Assim (a,b)=(2,1).

Passo 5

Portanto
p(x)=2,r(x)+1,s(x)

Resposta

Sim. O polinômio p(x)=2x^2 - x +1 é combinação linear de r e s, pois
p(x)=2,r(x)+s(x)

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